Question

No3 Докажите, что четырёхзначное число, записанное четырьмя однозначными цифрами, кратно 101.​

Answer 1

Доказательство:

Пусть а - цифра, записанная в четырёх разрядах, тогда само число равно

1000а + 100а + 10а + а = а•(1000 + 100 + 10 + 1) = 1111а.

Так как первый множитель делится на 101, то и всё произведение делится на 101.

Answer 2

Для доказательства того, что четырёхзначное число, записанное четырьмя однозначными цифрами, кратно 101, давайте рассмотрим произвольное четырёхзначное число, записанное в формате XYZW, где X, Y, Z и W обозначают однозначные цифры.

Чтобы проверить, делится ли это число на 101, мы можем использовать следующую формулу:

XYZW = 1000X + 100Y + 10Z + W

Теперь нам нужно доказать, что это число делится на 101, то есть:

1000X + 100Y + 10Z + W ≡ 0 (mod 101)

Мы можем упростить это уравнение, используя свойство модуляризации:

(1000X + 100Y + 10Z + W) ≡ (1000X - 990X + 100Y - 99Y + 10Z - 99Z + W) (mod 101)

Упрощаем дальше:

(1000X - 990X + 100Y - 99Y + 10Z - 99Z + W) ≡ (10X - 99X + Y - 99Y + Z - 99Z + W) (mod 101)

Ещё раз упрощаем:

(10X - 99X + Y - 99Y + Z - 99Z + W) ≡ (-89X - 98Y - 98Z + W) (mod 101)

Таким образом, для того, чтобы число XYZW было кратно 101, необходимо, чтобы -89X - 98Y - 98Z + W было кратно 101.

В общем случае, мы не можем утверждать, что все четырёхзначные числа, записанные четырьмя однозначными цифрами, кратны 101. Однако, для определённых комбинаций цифр это может быть верно.