Question

Вычислить производную сложной ф-ции f(x)=x*2^(3x+x^2)

Answer 1

Ответ:

$y=x*2^3^x^+^x^{2} \\y'=1*2^3^x^+^x^{2}+x*2^3^x^+^x^{2}*ln2*(3+2x)$

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для вычисления производной сложной функции f(x) = x * 2^(3x + x^2), мы применим правило дифференцирования произведения и правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

Цепное правило гласит, что если у нас есть функция g(u) и функция f(x), где u = g(x), тогда производная сложной функции f(g(x)) равна произведению производной функции g(u) по переменной u и производной функции f(x) по переменной x.

Давайте выполним дифференцирование:

Пусть g(x) = 2^(3x + x^2) Тогда f(x) = x * g(x)

Теперь найдем производную g(x):

g'(x) = d/dx [2^(3x + x^2)]

Для вычисления этой производной, мы используем правило дифференцирования экспоненты: d/dx [a^u] = a^u * ln(a) * du/dx

В нашем случае a = 2 и u = 3x + x^2, поэтому:

g'(x) = 2^(3x + x^2) * ln(2) * d/dx [3x + x^2]

Теперь вычислим производную выражения 3x + x^2:

d/dx [3x + x^2] = 3 + 2x

Теперь можем вернуться к производной g(x):

g'(x) = 2^(3x + x^2) * ln(2) * (3 + 2x)

Теперь найдем производную f(x):

f'(x) = d/dx [x * g(x)]

По цепному правилу:

f'(x) = g(x) + x * g'(x)

Теперь подставим значения:

f'(x) = 2^(3x + x^2) + x * (2^(3x + x^2) * ln(2) * (3 + 2x))

Таким образом, производная сложной функции f(x) = x * 2^(3x + x^2) равна:

f'(x) = 2^(3x + x^2) + x * 2^(3x + x^2) * ln(2) * (3 + 2x)