Question

Вычислите интеграл S x sin xd

Answer 1

$\int \underbrace {x}_{u}\cdot \underbrace {sinx\, dx}_{dv}=[\; du=dx\; ,\; v=-cosx\; ]=uv-\int v\, du=\\\\=-x\cdot cosx+\int cosx\, dx=-x\cdot cosx+sinx+C$

Answer 2

Для вычисления интеграла ∫x*sin(x) dx мы можем использовать метод интегрирования по частям. Правило интегрирования по частям гласит:

∫uv dx = u∫v dx - ∫(u' * ∫v dx) dx,

где u' обозначает производную функции u(x) по x.

Применяя это правило к нашему интегралу, выберем u(x) = x и v'(x) = sin(x), тогда u'(x) = 1 и v(x) = -cos(x):

∫xsin(x) dx = -xcos(x) - ∫(-cos(x)1) dx = -xcos(x) + ∫cos(x) dx = -x*cos(x) + sin(x) + C,

где C - произвольная постоянная.

Таким образом, интеграл ∫xsin(x) dx равен -xcos(x) + sin(x) + C.