Question

Найдите площадь криволинейной трапеций ограниченной следущими линиями y=x^2-1 y=0 x=2 x=3y=x^3+1 y=0 x=-1 x=2y=1-x^3 y=0 x=-2 x=1

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной заданными линиями, мы должны разбить ее на несколько более простых фигур и вычислить их площади, а затем сложить полученные значения.

На основе заданных линий, область ограничена следующими границами:

1. Кривая y = x^2 - 1
2. Ось x (y = 0)
3. Вертикальные линии x = 2 и x = 3
4. Кривая y = x^3 + 1
5. Ось y (y = 0)
6. Вертикальные линии x = -1 и x = 2
7. Кривая y = 1 - x^3
8. Ось y (y = 0)
9. Вертикальные линии x = -2 и x = 1

Давайте разобъем эту область на более простые фигуры и вычислим их площади поочередно.

1. Первая фигура - область между кривой y = x^2 - 1 и осью x в пределах x от -1 до 2: Площадь первой фигуры = ∫[-1,2] (x^2 - 1) dx = [x^3/3 - x] | [-1,2] = (2^3/3 - 2) - (-1^3/3 - (-1)) = (8/3 - 2) - (-1/3 + 1) = 2/3 + 1/3 = 1

2. Вторая фигура - прямоугольник со сторонами, параллельными осям, ограниченный вертикальными линиями x = 2 и x = 3: Площадь второй фигуры = (3 - 2) * max(y = x^2 - 1) на интервале [2, 3] = (3 - 2) * (3^2 - 1) = 1 * 8 = 8

3. Третья фигура - область между кривой y = x^3 + 1 и осью x в пределах x от -2 до 1: Площадь третьей фигуры = ∫[-2,1] (x^3 + 1) dx = [(x^4/4 + x) | [-2,1] = (1^4/4 + 1) - (-2^4/4 + (-2)) = (1/4 + 1) - (16/4 - 2) = 5/4 - (16/4 - 2) = 5/4 - 14/4 = -9/4

4. Четвертая фигура - прямоугольник со сторонами, параллельными осям, ограниченный вертикальными линиями x = -2 и x = 1: Площадь четвертой фигуры = (1 - (-2)) * max(y = x^3 + 1) на интервале [-2, 1] = 3 * (1^3 + 1) = 3 * 2 = 6

Теперь сложим все площади, чтобы получить общую площадь криволинейной трапеции:

Общая площадь = 1 + 8 + (-9/4) + 6 = 1 + 8 - 9/4 + 24/4 = 9 + 15/4 = 36/4 + 15/4 = 51/4 = 12.75

Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной заданными линиями, составляет 12.75 квадратных единиц.