Question

Найти площадь криволинейной трапеции ограниченной следующими линиями: 1) y=√x, y=2-x, y=0 2)y=x^2-2x+3, y=3x-1.

Answer 1

Ответ:

1. Найдём точки перечесения кривых

Пусть t=$\sqrt{x}$, тогда 2-t²=t

t²+t-2=0

(t-1)(t+2)=0

t=1, t=-2 но нас устраивает только t=1, т.е. х=1

и искомый интервал [0,1]

Вычислим I₁=$\int\limits^1_0 {2-x} \, dx$ =(2x-x²/2)|₀¹=1,5

Вычислим I₂=$\int\limits^1_0 {\sqrt{x} } \, dx$=2/3x√x|₀¹=2/3

Искомая площадь S=I₁-I₂=3/2-2/3=5/6

2. Ищем точки пересечения

x²-2x+3=3x-1

x²-5x+4=0

(x-2,5)²-2,25=0

(x-4)(x-1)=0

x=1, x=4

В этих пределах и ищем интегралы

I₁=$\int\limits^4_1 ({x^{2}-2x+3) } \, dx$=x³/3-x²+3x |₁⁴=64/3-16+12-(1/3-1+3)=21-15+9=15

I₂= $\int\limits^4_1 {(3x-1)} \, dx$=3/2x²-x |⁴₁=48-44-(3/2-1)=4-1/2=3,5

Площадь S=I₂-I₁=12,5

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для нахождения площади криволинейной трапеции между двумя кривыми функциями, вы можете воспользоваться следующим методом:

1. Найдите точки пересечения кривых, чтобы определить интервалы интегрирования.
2. Найдите разность между верхней и нижней функциями на каждом интервале интегрирования.
3. Затем интегрируйте разность между функциями по соответствующим интервалам.

Давайте рассмотрим каждый из ваших вопросов.

1. y = √x, y = 2 - x, y = 0:

Сначала найдем точки пересечения кривых, решив систему уравнений:

√x = 2 - x

x = (2 - x)^2

Решив это уравнение, мы получим две точки пересечения: x = 1 и x = 4/3.

Теперь разделим область на два интервала интегрирования: [0, 4/3] и [4/3, 1].

1. На интервале [0, 4/3]: Верхняя функция: y = 2 - x Нижняя функция: y = 0

2. На интервале [4/3, 1]: Верхняя функция: y = 2 - x Нижняя функция: y = √x

Теперь мы можем записать интеграл для вычисления площади:

Площадь = ∫[0, 4/3] (2 - x - 0) dx + ∫[4/3, 1] (2 - x - √x) dx

2. y = x^2 - 2x + 3, y = 3x - 1:

Точки пересечения кривых:

x^2 - 2x + 3 = 3x - 1

x^2 - 5x + 4 = 0

(x - 4)(x - 1) = 0

Точки пересечения: x = 1 и x = 4.

Разделите интервал [1, 4] на два подынтервала:

1. На интервале [1, 4]: Верхняя функция: y = 3x - 1 Нижняя функция: y = x^2 - 2x + 3

Интеграл для вычисления площади:

Площадь = ∫[1, 4] (3x - 1 - (x^2 - 2x + 3)) dx

Решите каждый из этих интегралов, чтобы найти площади областей между соответствующими кривыми.