Question

Решить систему дифференциальных уравнений {x'=x-y, {y'=-4x+y Смотреть ответ ?? igorShap igorShap

Answer 1

Для решения этой системы дифференциальных уравнений, давайте начнем с записи системы в матричной форме:

$$\frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$$

Теперь мы можем найти собственные значения и собственные векторы матрицы $\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}$. Собственные значения можно найти, решив характеристическое уравнение:

$$\det\left(\begin{bmatrix} 1-\lambda & -1 \\ -4 & 1-\lambda \end{bmatrix}\right) = (1-\lambda)^2 - (-1) \cdot (-4) = \lambda^2 - 2\lambda + 5 = 0$$

Это квадратное уравнение имеет комплексные корни: $\lambda = 1 + 2i$ и $\lambda = 1 - 2i$.

Собственный вектор, соответствующий собственному значению $\lambda = 1 + 2i$, можно найти из системы уравнений $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$:

$$\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -4 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

Отсюда получаем вектор $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2i \end{bmatrix}$.

Аналогично для $\lambda = 1 - 2i$ получаем вектор $\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -2i \end{bmatrix}$.

Теперь мы можем записать общее решение системы дифференциальных уравнений:

$$\begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \end{bmatrix} = c_1 e^{(1+2i)t} \begin{bmatrix} 1 \\ 2i \end{bmatrix} + c_2 e^{(1-2i)t} \begin{bmatrix} 1 \\ -2i \end{bmatrix}$$

где $c_1$ и $c_2$ - произвольные постоянные.

Для получения более конкретного решения, нужно знать начальные условия $x(0)$ и $y(0)$ или другие дополнительные ограничения.