Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: параболой y=6x-x^2 и прямой y=0

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y₁=6x-x^2 ; y₂=0

найдем точки пересечения функции с осью ОХ (у=0)

6х-х² = 0;  ⇒ х₁ = 0, х₂ = 6

теперь можем искать площадь в общем виде она равна

$\int\limits^{x_{2} }_{x_{1}}( {y_{1}-y_{2}}) \, dx$

в нашем случае

$\int\limits^{6 }_{0}( {6x-x^{2} ) \, dx = 6\int\limits^{6 }_{0}( {x ) \, dx - \int\limits^{6 }_{0}( {x^{2} ) \, dx =3x^{2} I_{0} ^{6} - \frac{x^3}{3} I_{0} ^{6} = 108-72 =36$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной параболой y=6x-x^2 и прямой y=0, нужно найти точки их пересечения, которые определяют границы этой фигуры по оси x. Поскольку прямая y=0 является осью x, то нам интересует, при каких значениях x парабола пересекает эту ось.

Парабола задана уравнением y = 6x - x^2. Прямая ось x задана уравнением y = 0.

Для найти точки пересечения, приравниваем уравнения:

6x - x^2 = 0

Теперь решаем квадратное уравнение:

x^2 - 6x = 0

Факторизуем:

x(x - 6) = 0

Из этого следует, что x = 0 или x = 6. Таким образом, парабола пересекает ось x в точках x = 0 и x = 6.

Теперь, чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной этими границами по оси x, нужно найти площадь между параболой и осью x на интервале [0, 6]. Это можно сделать с помощью интеграла:

Площадь = ∫[0, 6] (6x - x^2) dx

Вычисляем интеграл:

Площадь = [6x^2/2 - (x^3)/3] от 0 до 6 Площадь = [18 - 72/3] - [0 - 0] Площадь = 18 - 24 Площадь = -6

Площадь фигуры ограниченной параболой y=6x-x^2 и осью x на интервале [0, 6] равна 6 квадратных единиц.