Question

4.Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой у = x^2 , прямой х = 0,5 и прямой х = 1 5. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой у = 9 – х^2, прямой х= –1 и х = 2.

Answer 1

1)

$\int_{0.5}^{1} {x}^{2} dx = \frac{ {x}^{3} }{3}| _{0.5}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{( \frac{1}{2}) {}^{3} }{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{8 \times 3} = \frac{8 - 1}{24} = \frac{7}{24}$

Ответ: 7/24 кв. ед.

2)

$\int_{ - 1}^{2}9 - {x}^{2} dx = \int_{ - 1}^{2}9dx - \int_{ - 1}^{2} {x}^{2} dx = (9x - \frac{ {x}^{3} }{3} ) | _{ - 1}^{2} = (18 - \frac{8}{3} ) - ( - 9 + \frac{1}{3} ) = 18 - \frac{8}{3} + \frac{26}{3} = 24$

Ответ: 24 кв. ед.

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций, нужно вычислить интеграл от модуля разности этих функций по соответствующему диапазону. Давайте рассмотрим оба ваших вопроса по очереди:

Задача 4: Функции, ограничивающие область:

1. Парабола: y = x^2
2. Прямая: x = 0.5
3. Прямая: x = 1

Чтобы найти площадь, ограниченную этими функциями, нужно вычислить интеграл модуля разности x^2 и 0.5 (для x от 0.5 до 1): $S = \int_{0.5}^{1} |x^2 - 0.5| dx$

Вычислим интеграл: $S = \int_{0.5}^{1} (x^2 - 0.5) dx = \left[\frac{x^3}{3} - 0.5x\right]_{0.5}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{24} - \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} - \frac{5}{24} = \frac{1}{24}$

Ответ: Площадь фигуры равна 1/24.

Задача 5: Функции, ограничивающие область:

1. Парабола: y = 9 - x^2
2. Прямая: x = -1
3. Прямая: x = 2

Чтобы найти площадь, ограниченную этими функциями, нужно вычислить интеграл модуля разности 9 - x^2 и -1 (для x от -1 до 2): $S = \int_{-1}^{2} |9 - x^2 + 1| dx$

Упростим выражение в модуле: $S = \int_{-1}^{2} |10 - x^2| dx$

Разбиваем интеграл на два интервала, где значение под модулем будет положительным и отрицательным: $S = \int_{-1}^{0} (x^2 - 10) dx + \int_{0}^{2} (10 - x^2) dx$

Вычислим интегралы: $S = \left[\frac{x^3}{3} - 10x\right]_{-1}^{0} + \left[10x - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{2} = \frac{1}{3} - 0 + 20 - 20 - (0 - 0) + \frac{8}{3} - 0 = \frac{29}{3}$

Ответ: Площадь фигуры равна 29/3.