Question

Задание 1.Вычислите площадь фигуры,ограниченной линиями у=х^2-1,у=0. Задание 2. Вычислите площадь фигуры,ограниченной параболой у=х^2 и прямой у=2х.

Answer 1

1. x^2-1 = 0
x^2 = 1
x = +/- 1
интеграл от (-1) до 1 (-(x^2-1))dx = -(x^3/3 - x) граница от (-1) до 1 = -(1^3/3 - 1 - (-1)^3/3 -(-1) = -1^3/3 +1+1^3/3+1= 2 (кв. од.)
2. x^2 = 2x
x^2 - 2x = 0
x(x-2) = 0
x = 0 или х = 2
интеграл от 0 до 2 (2x-x^2)dx = (x^2-x^3/3) граница от 0 до 2 = 2^2-2^3/3 - 0^2-0^3/3 = 4 - 8/3 = 4/3 (кв. од.)

Answer 2

Давайте решим оба задания.

Задание 1:

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = x^2 - 1\) и \(y = 0\).

Для вычисления площади под кривой между двумя функциями необходимо найти точки их пересечения, которые обозначают границы интегрирования. В данном случае:

\(x^2 - 1 = 0\)

Решив уравнение, получаем \(x = -1\) и \(x = 1\). Таким образом, мы будем интегрировать от -1 до 1.

Теперь, чтобы найти площадь, используем определенный интеграл:

\[ S = \int_{-1}^{1} (x^2 - 1) \,dx \]

Вычислим этот интеграл:

\[ S = \left[\frac{x^3}{3} - x\right]_{-1}^{1} \]

\[ S = \left(\frac{1}{3} - 1\right) - \left(-\frac{1}{3} + 1\right) \]

\[ S = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = x^2 - 1\) и \(y = 0\), равна \(\frac{4}{3}\).

Задание 2:

Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой \(y = x^2\) и прямой \(y = 2x\).

Точки пересечения:

\[ x^2 = 2x \]

Решая уравнение, получаем \(x = 0\) и \(x = 2\). Таким образом, мы будем интегрировать от 0 до 2.

Теперь, чтобы найти площадь, используем определенный интеграл:

\[ S = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \,dx \]

Вычислим этот интеграл:

\[ S = \left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{2} \]

\[ S = \left(4 - \frac{8}{3}\right) - \left(0 - 0\right) \]

\[ S = \frac{4}{3} \]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной параболой \(y = x^2\) и прямой \(y = 2x\), также равна \(\frac{4}{3}\).

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать!