Question

Известно, что x+y=a, xy=b. Чему равно значение x^5+y^5?

Answer 1

x+y=a, xy=b

x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = a^2 - 2b

x^3 +y^3 = (x+y)(x^2 -xy + y^2) = a(a^2 - 3b)

x^5 + y^5 = (x^3+y^3)(x^2+y^2) - x^2y^2(x+y) =  a(a^2 -3b)(a^2 - 2b) - ab^2

Вообще на будущее, легко заметить, что

Если обозначить:

S(t) = x^t + y^t

То получим удобное тождество, при помощи которого можно выводить суммы более высоких степеней, зная суммы меньших (n >=k):

S(n+k) = S(n) * S(k) - b^k * S(n-k)

Answer 2

Вы можете найти значение выражения x^5 + y^5, используя бином Ньютона и данные уравнения x + y = a и xy = b.

Сначала давайте найдем значения x и y. У нас есть два уравнения:

1. x + y = a
2. xy = b

Мы можем решить систему уравнений, используя метод подстановки. Из уравнения (1) можно выразить x:

x = a - y

Затем подставим это значение x в уравнение (2):

(a - y)y = b

a*y - y^2 = b

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно y:

y^2 - a*y + b = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение и найти значения y. Затем мы можем найти соответствующие значения x.

После того как мы найдем x и y, мы можем вычислить x^5 и y^5 и сложить их, чтобы получить значение x^5 + y^5.