Question

при каком наибольшем k можно утверждать, что при любом покраске в чёрный цвет k клеток белого квадрата 7х7 обязательно останется целиком белый квадрат 3х3 со сторонами, идущими по линиям сетки?

Answer 1

Ответ на твоё задание

Answer 2

Для понимания задачи, давайте представим, что у нас есть белый квадрат размером 7x7 клеток, который мы хотим покрасить в черный цвет, и нам нужно найти такое значение \( k \), при котором в любом случае, при любой покраске, внутри этого большого квадрата останется целиком белый квадрат 3x3 клетки.

Давайте рассмотрим, как можно раскрасить квадрат 7x7:

1. Покрасим центральные 3x3 клетки в черный цвет. Теперь у нас есть 5x5 квадрат, окруженный белым квадратом.

    W W W W W W W
    W W W W W W W
    W W W W W W W
    W W W B B B W
    W W W B B B W
    W W W B B B W
    W W W W W W W
    

2. Рассмотрим внешний белый квадрат. Мы видим, что он имеет ширину 1 клетка с каждой стороны, так как центральный квадрат занимает 3 клетки с каждой стороны. Таким образом, мы имеем 1 клетку с каждой стороны для расширения белого квадрата 3x3.

3. Если мы хотим, чтобы внутри большого квадрата оставался белый квадрат 3x3, нам нужно, чтобы внешний белый квадрат был шириной не менее 3 клеток с каждой стороны.

4. Таким образом, ширина внешнего белого квадрата равна \( 3 + 2k \), где \( k \) - количество клеток, которые мы добавляем с каждой стороны.

5. Мы хотим, чтобы этот внешний белый квадрат был не менее 3x3, поэтому:

\[ 3 + 2k \geq 3 \]

6. Решая это неравенство, получаем:

\[ 2k \geq 0 \]

\[ k \geq 0 \]

Таким образом, при любом неотрицательном значении \( k \) внутри большого квадрата 7x7 будет оставаться целиком белый квадрат 3x3 клетки.