Question

Знайти площу фігури обмеженої лініями y=cosx, y=sinx, x=pi/6, x=pi/3

Answer 1

Відповідь:

S=(2√2-1-√3)

Пояснення:

Задана фігура, площу якої слід знайти, складается з 2 частин. Для  x ꞓ [π/6 ;π/4] cos>= sinx , а для ꞓ [π/4;π/3] sinx >= cosx. Тому S=S1+S2, де

S1=

π/4

ʃ(cosx-sinx)dx;

π/6

S2=

π/3

ʃ(sinx-cosx)dx

π/4

                           π/4

S1=(sinx+cosx)   |    = ((√2/2)+(√2/2))-((1/2)+(√3/2))= (2√2-1√3)/2 ;

                          π/6

                          π/3

S2=(-cosx-sinx) |    = -((1/2)+(√3/2))+((√2/2)+(√2/2))= (2√2-1√3)/2 ;

                          π/4

Отже, S=(2√2-1-√3) (од. кв)

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої лініями y = cos(x), y = sin(x), x = pi/6 та x = pi/3, спочатку нам потрібно знайти точки перетину цих ліній.

Перш за все, зобразимо ці лінії на графіку:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, np.pi/2, 1000)
y_cos = np.cos(x)
y_sin = np.sin(x)

plt.plot(x, y_cos, label='y = cos(x)')
plt.plot(x, y_sin, label='y = sin(x)')
plt.axvline(x=np.pi/6, color='r', linestyle='--', label='x = pi/6')
plt.axvline(x=np.pi/3, color='g', linestyle='--', label='x = pi/3')

plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Графік функцій')
plt.grid(True)
plt.show()


З графіку видно, що точки перетину ліній y = cos(x) та y = sin(x) знаходяться в інтервалі x = [0, π/2]. Далі, знайдемо точки перетину ліній x = π/6 та x = π/3 з y = cos(x) та y = sin(x).

Знаходження точок перетину:

1. Для x = π/6: Підставимо x = π/6 в рівняння y = cos(x) та y = sin(x): y = cos(π/6) = √3/2 y = sin(π/6) = 1/2

Таким чином, точка перетину для x = π/6: (π/6, √3/2), (π/6, 1/2)

2. Для x = π/3: Підставимо x = π/3 в рівняння y = cos(x) та y = sin(x): y = cos(π/3) = 1/2 y = sin(π/3) = √3/2

Таким чином, точка перетину для x = π/3: (π/3, 1/2), (π/3, √3/2)

Тепер, коли у нас є точки перетину цих ліній, ми можемо обчислити площу фігури обмеженої цими лініями. В даному випадку, це буде площа між кривими y = cos(x) та y = sin(x) в інтервалі x = [π/6, π/3].

Обчислення площі:

Для обчислення площі можемо скористатись інтегралом:

S = ∫[π/6, π/3] (sin(x) - cos(x)) dx

Виконавши інтегрування, отримаємо:

S = [-cos(x) - sin(x)] [π/6, π/3]

S = (-cos(π/3) - sin(π/3)) - (-cos(π/6) - sin(π/6))

S = (-1/2 - √3/2) - (-√3/2 - 1/2)

S = -1/2 - √3/2 + √3/2 + 1/2

S = 0

Таким чином, площа фігури, обмеженої лініями y = cos(x), y = sin(x), x = π/6 та x = π/3, дорівнює 0.