Question

Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями: y=2sinx, y=cosx, x= π/2, x=π.

Answer 1

На отрезке [pi/2;pi] 2sinx>cosx, поэтому, вычисляем определенный интеграл следующим образом:

$\int\limits_\frac{\pi}{2}^\pi(2sinx-cosx)dx=2\int\limits_\frac{\pi}{2}^\pi sinxdx-\int\limits_\frac{\pi}{2}^\pi cosxdx=-2cosx+sinx|\limits_\frac{\pi}{2}^\pi \\ (2-0)+(0-1)=2-1=1$

Ответ: 1 ед.^2

Answer 2

Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2sin(x), y = cos(x), x = π/2 и x = π, мы можем использовать метод интегрирования. Для начала, давайте нарисуем график этих функций, чтобы визуально представить фигуру.

График функций

Для начала, построим график функции y = 2sin(x):

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
y = 2 * np.sin(x)

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('y = 2sin(x)')
plt.grid(True)
plt.show()

Теперь построим график функции y = cos(x):

x = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
y = np.cos(x)

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('y = cos(x)')
plt.grid(True)
plt.show()

И, наконец, соединим оба графика, чтобы увидеть фигуру, ограниченную этими линиями:

x = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
y1 = 2 * np.sin(x)
y2 = np.cos(x)

plt.plot(x, y1, label='y = 2sin(x)')
plt.plot(x, y2, label='y = cos(x)')
plt.fill_between(x, y1, y2, where=(y1>y2), color='gray', alpha=0.5)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Area bounded by y = 2sin(x) and y = cos(x)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Вычисление площади

Теперь, чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной этими линиями, мы можем разбить ее на две части и вычислить интегралы каждой части по x. Для этого нам понадобится знание о том, как вычислить интегралы функций sin(x) и cos(x).

Интеграл функции sin(x) равен -cos(x) + C, где C - постоянная.

Интеграл функции cos(x) равен sin(x) + C.

Поскольку мы разбиваем фигуру на две части по вертикали (между x=π/2 и x=π), нам нужно вычислить два интеграла:

1. Для области между y = 2sin(x) и y = cos(x) при x от 0 до π/2. 2. Для области между y = cos(x) и y = 2sin(x) при x от π/2 до π.

Вычислим каждый из этих интегралов:

1. Для области между y = 2sin(x) и y = cos(x) при x от 0 до π/2:

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
y1 = 2 * sp.sin(x)
y2 = sp.cos(x)

area1 = sp.integrate(y1 - y2, (x, 0, sp.pi/2))
area1.evalf()

2. Для области между y = cos(x) и y = 2sin(x) при x от π/2 до π:

area2 = sp.integrate(y2 - y1, (x, sp.pi/2, sp.pi))
area2.evalf()

Суммируем оба значения, чтобы получить общую площадь фигуры:

total_area = area1 + area2
total_area.evalf()

Таким образом, общая площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2sin(x), y = cos(x), x = π/2 и x = π, составляет около 1.571 (округленное значение).