Question

Кінці хорди ділять коло у відношенні 1:3. Знайди площі двох утворених сегментів, якщо діаметр кола дорівнює 24 см.

Answer 1

Ответ:

Площади сегментов равны:

S₁ = (36π - 72) см² ≈ 41,04 см²;

S₂ = (108π +72) см² ≈ 411,12 см².

Объяснение:

Концы хорды делят окружность в отношении 1:3. Найди площади двух образованных сегментов, если диаметр окружности равен 24 см.

Дано: Окр.О,R;

AB - хорда;

◡АВ : ◡AmB = 1 : 3

КМ = 24 см - диаметр.

Найти: площади сегментов S₁ и S₂.

Решение:

◡АВ : ◡AmB = 1 : 3

• Градусная мера окружности равна 360°.

Пусть ◡АВ = х°: тогда  ◡AmB = 3х°

Составим уравнение:

х + 3х = 360°

х = 90°

◡АВ = 90°: ◡AmB = 270°

• Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

⇒ α = 90°

• Радиус равен половине диаметра.

⇒ R = KM : 2 = 12 см.

• Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

$\displaystyle S_{ABO}=\frac{1}{2}\cdot{OA}\cdot{OB}=\frac{1}{2}\cdot{R^2} =\frac{1}{2}\cdot144=72\;_{(CM^2)}$

Знаем α, R и S(AOB).

Площадь меньшего сегмента S₁ найдем по формуле.

$\displaystyle \boxed { S=\frac{\pi R^2}{360^0}\cdot{\alpha }-S_{\Delta} }$

Найдем площадь меньшего сегмента S₁:

$\displaystyle S_1=\frac{\pi \cdot144}{360^0}\cdot{90^0 }-72=(36\pi -72) \;_{(CM^2)}$

Площадь большего сегмента S₂ найдем по формуле:

$\displaystyle \boxed { S=\frac{\pi R^2}{360^0}\cdot{\alpha }+S_{\Delta} }$

Здесь α = 270°.

Подставим значения и найдем площадь сегмента S₂:

$\displaystyle S_2=\frac{\pi \cdot144}{360^0}\cdot{270^0 }+72=(108\pi +72)\;_{(CM^2)}$

Площади сегментов равны:

S₁ = (36π - 72) см² ≈ 41,04 см²;

S₂ = (108π +72) см² ≈ 411,12 см².

#SPJ1

Answer 2

Коло можна поділити на дві частини хордою, котра ділить його на два сегменти. Згідно з умовою, відношення довжин двох частин хорди складає 1:3. Це означає, що одна частина хорди є \( \frac{1}{4} \) всієї хорди, а інша частина - \( \frac{3}{4} \).

Діаметр кола дорівнює 24 см. Таким чином, радіус кола \( r \) буде половиною діаметра:

\[ r = \frac{24}{2} = 12 \, \text{см} \]

Тепер ми можемо знайти довжину хорди. Якщо \( a \) - довжина коротшої частини хорди, то довжина довшої частини буде \( 3a \):

\[ a + 3a = 4a \]

За теоремою про хорду, довжина хорди виражається через радіус і кут між хордою і діаметром, що його вона охоплює. Знаючи відношення довжин хорди, можемо записати:

\[ 4a = 2r \sin \theta \]

де \( \theta \) - це кут між хордою і діаметром.

Ми також знаємо, що півкруга в колі дорівнює \( \frac{\pi}{2} \) радіан. Отже, кут між хордою і діаметром складає \( \frac{\pi}{2} \) радіан для всього кола, і \( \frac{\pi}{4} \) радіан для кожного сегмента (оскільки вони однакові).

Тепер можемо розв'язати рівняння:

\[ 4a = 2r \sin \frac{\pi}{4} \]

\[ 4a = 2 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ 4a = 12\sqrt{2} \]

\[ a = 3\sqrt{2} \]

Тепер ми знаємо довжину коротшої частини хорди (\(a\)), а довша частина буде \(3a\).

Тепер можемо знайти площі сегментів. Площа сегмента круга обчислюється за формулою:

\[ S = \frac{1}{2}r^2(\theta - \sin\theta) \]

Для коротшого сегмента:

\[ S_1 = \frac{1}{2} \cdot 12^2 \left(\frac{\pi}{4} - \sin\frac{\pi}{4}\right) \]

А для довшого сегмента:

\[ S_2 = \frac{1}{2} \cdot 12^2 \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} - \sin\frac{\pi}{4}\right) \]

Тепер можна обчислити ці вирази і отримати площі сегментів.