Question

Отрезки AB и CE пересекаются в их общей середине О. На отрезках AC и BE отмечены точки К и M так, что AK равно BM. Доказать, что OK равно OM. СРОЧНО!!!!ПЛИЗЗ! 20 Б!!!!

Answer 1

Рассмотрим четырёхугольник AEBC (см. рисунок). Его диагонали в точке пересечения делятся пополам, следовательно, это параллелограмм.

У параллелограмма противоположные стороны параллельны. Значит, ∠KAO = ∠MBO (накрест лежащие углы при параллельных прямых AC и EB и секущей AB).

Рассмотрим треугольники KAO и MBO. У них AK=MB, AO=OB, ∠KAO = ∠MBO. Поэтому они равны (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, KO=OM как соответствующие стороны. Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства равенства OK и OM, воспользуемся свойством серединных перпендикуляров в треугольниках.

Пусть P и Q - середины отрезков AC и BE соответственно. Тогда, так как точка О - середина отрезков AB и CE, то ОP и ОQ являются серединными перпендикулярами для отрезков AC и BE соответственно.

Также, у нас есть, что AK = BM. Возьмем отрезки AP и BQ.

Теперь рассмотрим треугольники АКР и BMQ. У этих треугольников равны две стороны: АК = BM (дано условие), КР = МQ (серединные перпендикуляры), и углы при вершинах К и М прямые (перпендикуляры к прямой АО).

Тогда по теореме о равенстве треугольников (по стороне-против угла-против стороны) можно сказать, что треугольники АКР и BMQ равны.

Отсюда следует, что у этих треугольников равны их высоты, и значит OK = OM.

Таким образом, мы доказали, что OK равно OM.