Question

В правильной треугольной пирамиде SABC.Боковое ребро которой равно стороне основания,точка K-середина ребра SB,точка M-середина ребра BC.Найдите косинус угла между прямыми AK и SM.

Answer 1

Поместим пирамиду вершиной В в начало координат.

ВС - по оси Оу.

Из условия вытекает, что заданная пирамида - правильный тетраэдр.

Примем длину ребра за 1, высота каждой грани (в том числе АК и SM) равна √3/2, высота тетраэдра (H(S)) равна √(2/3).

Находим координаты заданных точек.

х(А) = √3/2.

y(А) = 0,5.

z(А) = 0.                    A((√3/2); 0,5; 0).

x(K) = √3/12.

y(K) = 0,25.

z(K) = (1/2)*√(2/3).     K((√3/12); 0,25; (√2/(2√3)).

x(S) = √3/6.

y(S) = 0,5.

z(S) = √(2/3).             S((√3/6); 0,5; (√2/√3)).

                                 M(0; 0,5; 0).

Находим векторы:

AK = ((-5√3/12); -0,25; (√2/(2√3))),  SM = ((-√3/6); 0; (-√2/√3))

Модули этих векторов равны (√3/2) по определению высот граней.

Находим косинус угла:

Модуль скалярного произведения равен (1/8) = 0,125.

cosφ = (1/8)/((√3/2)*(√3/2)) = 1/6.

Угол равен 1,403348 радиан или 80,40593 градуса.

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим треугольник AKM и воспользуемся косинусным правилом.

Обозначим длину стороны основания треугольной пирамиды SABC как 'a'.

Поскольку K - середина ребра SB, то SK = KB = a/2.

Также, M - середина ребра BC, поэтому MC = MB = a/2.

Поскольку треугольник AKM - правильный, все его стороны равны.

Теперь выразим длину стороны AK в зависимости от 'a':

AK^2 = AM^2 + MK^2,

AK^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2,

AK^2 = a^2/4 + a^2/4,

AK^2 = a^2/2.

Теперь найдем косинус угла между прямыми AK и SM. Для этого воспользуемся определением косинуса угла между векторами:

cos(θ) = (Вектор_1 * Вектор_2) / (|Вектор_1| * |Вектор_2|),

где Вектор_1 и Вектор_2 - векторы направленные на прямые AK и SM соответственно, и |Вектор_1| и |Вектор_2| - их длины.

Вектор_1 = AK, его длина |Вектор_1| = AK.

Вектор_2 = SM, его длина |Вектор_2| = SM.

Мы уже выразили длину AK выше, теперь найдем длину SM.

SM^2 = SK^2 + KM^2,

SM^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2,

SM^2 = a^2/4 + a^2/4,

SM^2 = a^2/2.

Теперь найдем косинус угла между прямыми AK и SM:

cos(θ) = (AK * SM) / (|AK| * |SM|),

cos(θ) = (a^2/2) / (sqrt(a^2/2) * sqrt(a^2/2)),

cos(θ) = (a^2/2) / (a^2/2),

cos(θ) = 1.

Таким образом, косинус угла между прямыми AK и SM равен 1.