Question

через концы дуги окружности, содержащий 120 градусов, проведены касательные, и в фигуру, ограниченную этими касательными и данной дугой, вписана окружность. Доказать, что её длина равна длине исходной дуги. Помогите, пожалуйста, только с чертежом.

Answer 1

Задача: Доказать, что длина фигуры, ограниченной касательными и дугой окружности, равна длине исходной дуги.

Для начала, давайте взглянем на чертеж, чтобы лучше понять ситуацию.


На чертеже видно, что у нас есть окружность с центром O и радиусом R. Через концы дуги, содержащей 120 градусов, проведены касательные AB и CD. В фигуру, ограниченную этими касательными и дугой, вписана окружность с центром P и радиусом r.

Нам нужно доказать, что длина фигуры, ограниченной касательными и дугой, равна длине исходной дуги.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник AOP. Он является прямоугольным, так как радиус AO перпендикулярен касательной AB в точке A. Также, угол AOP равен половине угла в центре AOB, так как они опираются на одну и ту же дугу. Следовательно, угол AOP равен 60 градусам.

2. Рассмотрим треугольник COP. Он также является прямоугольным, так как радиус CO перпендикулярен касательной CD в точке C. Угол COP также равен 60 градусам.

3. Из пунктов 1 и 2 следует, что угол AOP равен углу COP.

4. Так как углы AOP и COP равны, а угол O равен 180 градусам (сумма углов треугольника), то угол APC также равен 180 градусам.

5. Это означает, что точка P лежит на дуге ACB.

6. Так как радиусы окружностей OP и OC равны (так как они являются радиусами вписанных окружностей), то длина дуги ACB равна длине дуги APB.

7. Таким образом, длина фигуры, ограниченной касательными AB и CD и дугой ACB, равна длине исходной дуги ACB.

Заключение:

Мы доказали, что длина фигуры, ограниченной касательными и дугой окружности, равна длине исходной дуги. Это следует из свойств прямоугольных треугольников и равенства углов.