Question

40 баллов! В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 6 дм, высота 3 дм. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Answer 1

Ответ:

Площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания и апофемы.

Формула площади боковой поверхности пирамиды:$S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} l$

Периметр – сумма длин всех сторон. Так как основанием является правильный шестиугольник, у него все стороны равны.

P=6a

P=6×6=36 дм

Апофема – это высота боковой грани, опущенная из вершины пирамиды. На чертеже это ST.

Ее найдем по треугольнику SOT. SO – высота пирамиды, а значит SOT – прямоугольный треугольник, где <SOT=90°.

OT – радиус, вписанной окружности в основание.

Формула радиуса вписанной окружности в правильный многоугольник: $r= \frac{a}{2 \tg(\frac{\pi}{n})}$, где a – сторона, n – количество сторон.

$r = \frac{6}{2 \times \tg( \frac{\pi}{6} ) } = \frac{6}{2 \times \frac{1}{ \sqrt{3} } } = \frac{6 \sqrt{3} }{2} = 3 \sqrt{3}$

Радиус вписанной окружности в основание 3√3 дм.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, l²=H²+r².

Высота, по условию, 3 дм, а радиус 3√3 дм.

${l}^{2} = {3}^{2} + {(3 \sqrt{3} )}^{2} \\ {l}^{2} = 9 + 27 \\ {l}^{2} = 36 \\ l = \sqrt{36} \\ l = 6$

Апофема равняется 6 дм.

Теперь остается подставить в формулу.

$S_{бок} = \frac{1}{2} \times 36 \times 6 = 108$

Ответ: Площадь боковой поверхности данной пирамиды 108 дм².

Answer 2

Calculating the lateral surface area of a regular hexagonal pyramid

The question asks us to calculate the lateral surface area of a regular hexagonal pyramid, given that the base side length is 6 dm and the height is 3 dm.

A regular hexagonal pyramid has six triangular lateral faces that are all congruent. Since the base is a regular hexagon, all the sides of the base are equal to 6 dm.

To calculate the area of one lateral face, we can use the formula for the area of a triangle:

`A = 1/2 * b * h`

Where: - b is the base of the triangle - h is the height of the triangle

For each lateral face: - The base b is equal to the side of the hexagonal base, which is 6 dm - The height h is equal to the height of the pyramid, which is given as 3 dm

Plugging these values into the formula: `A = 1/2 * 6 dm * 3 dm = 9 dm^2`

Since there are six identical lateral faces, the total lateral surface area is six times the area of one face.

Therefore, the total lateral surface area is: 6 * 9 dm^2 = 54 dm^2