Question

Отрезок АВ разделили точкой С(4;-3) в отношении 3:4 считая от точки А. Найти координаты точки А, если В(8;-6).

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

СВ(8-4;-6+3)=(4;-3)

|CB|=$\sqrt{4^2+(-3)^2} =\sqrt{16+9} =\sqrt{25}=5$

Уравнение прямой

$\frac{x-4}{8-4} =\frac{y+3}{-6+3}\\\frac{x-4}{4} =\frac{y+3}{-3} \\-3(x-4)=4(y+3)\\y+3=\frac{-3x+12}{4} \\y=\frac{-3x+12}{4} -3=\frac{-3x+12-12}{4}=-\frac{3x}{4}$

Длина АВ должна быть равна $\frac{3}{4}$ длины СВ

|AB|=$\sqrt{(8-x)^2+(-6-y)^2}=\frac{3}{4} *5$

(8-x)²+(-6-y)²=($\frac{3}{4}$)²*5²

$(8-x)^2+(-6-y)^2=\frac{9*25}{16} =\frac{225}{16}$

Answer 2

Отношение 3:4 означает, что отрезок AB разделен на две части, причем первая часть (от точки A до точки C) составляет 3 части от всего отрезка, а вторая часть (от точки C до точки B) составляет 4 части от всего отрезка.

Для решения этой задачи можно использовать формулу для нахождения координат точки, разделяющей отрезок на две части:

x_c = (x_a * m + x_b * n) / (m + n) y_c = (y_a * m + y_b * n) / (m + n)

где (x_c, y_c) - координаты точки C, (x_a, y_a) - координаты точки A, (x_b, y_b) - координаты точки B, m - количество частей отрезка АС, n - количество частей отрезка СВ.

Заменяем известные значения в формулу:

x_c = (x_a * 3 + x_b * 4) / (3 + 4) = (3x_a + 4x_b) / 7 y_c = (y_a * 3 + y_b * 4) / (3 + 4) = (3y_a + 4y_b) / 7

Подставим координаты точек B(8, -6) и C(4, -3):

x_c = (3x_a + 4 * 8) / 7 = (3x_a + 32) / 7 y_c = (3y_a + 4 * -6) / 7 = (3y_a - 24) / 7

Таким образом, мы получили два уравнения с двумя неизвестными (x_a и y_a). Известно, что точка C(4, -3) лежит на отрезке AB, поэтому координаты точки C должны удовлетворять уравнению прямой AB.

Уравнение прямой AB можно записать в виде:

y = kx + b

где k - коэффициент наклона прямой AB, и b - свободный член.

Чтобы найти коэффициент наклона k, используем формулу:

k = (y_b - y_a) / (x_b - x_a)

Заменяем известные значения:

k = (-6 - y_a) / (8 - x_a)

Теперь подставим координаты точки C(4, -3) в уравнение прямой AB:

-3 = k * 4 + b

Итак, у нас есть два уравнения: одно уравнение с неизвестными x_a и y_a и одно уравнение с неизвестными k и b.

Для решения системы уравнений можно воспользоваться одним из методов решения систем линейных уравнений, например, методом подстановки или методом сложения.

Приведу пример решения этой системы уравнений методом подстановки:

1) Запишем уравнение прямой AB:

-3 = k * 4 + b

2) Запишем выражение для коэффициента наклона k через неизвестные x_a и y_a:

k = (-6 - y_a) / (8 - x_a)

3) Подставим это выражение для k в уравнение прямой AB:

-3 = ((-6 - y_a) / (8 - x_a)) * 4 + b

4) Упростим:

-3 = (-24 - 4y_a) / (8 - x_a) + b

5) Умножим обе части уравнения на (8 - x_a), чтобы избавиться от знаменателя:

-3(8 - x_a) = -24 - 4y_a + (8 - x_a)b

-24 + 3x_a = -24 - 4y_a + 8b - bx_a

6) Перенесем все слагаемые с неизвестными на одну сторону уравнения, а все остальные слагаемые на другую сторону:

bx_a - 3x_a + 4y_a = 8b - 24

7) Заменим координаты точки A на x_a и y_a:

b * x_a - 3 * x_a + 4 * y_a = 8b - 24

8) Мы получили одно уравнение с двумя неизвестными x_a и y_a. Теперь можно решить его, используя любой метод решения систем линейных уравнений или метод подбора значений.

Например, можно предположить значение x_a, например, x_a = 0:

b * 0 - 3 * 0 + 4 * y_a = 8b - 24

0 - 0 + 4 * y_a = 8b - 24

4 * y_a = 8b - 24

y_a = 2b - 6

Таким образом, мы получили уравнение, связывающее координаты точки A (x_a и y_a) и коэффициент наклона прямой AB (b).

Вариантов решения этого уравнения может быть несколько, поэтому необходимо дополнительное условие, чтобы определить конкретные значения x_a и y_a. Например, можно использовать условие, что точка A должна лежать на прямой AB, которое можно записать в виде уравнения прямой:

y_a = b * x_a + 3

Подставим это уравнение в уравнение для y_a, полученное ранее:

2b - 6 = b * x_a + 3

x_a = (2b - 9) / b

Таким образом, получили выражение для x_a через коэффициент наклона b. Теперь можно использовать это выражение для значения b и найти конкретные значения x_a и y_a.

В итоге, для нахождения координат точки A, если B(8, -6) и С(4, -3) при отношении 3:4, необходимо решить систему уравнений:

bx_a - 3x_a + 4y_a = 8b - 24 y_a = b * x_a + 3

Подставить полученные значения x_a и y_a в уравнения и вычислить координаты точки A.