Question

Найдите площадь равнобедренной трапеции,если известно, что её диагональ равная 6 см образует с боковыми сторонами углы 38° и 97°

Answer 1

Ответ:

Площадь трапеции равна 9√2 см².

Объяснение:

ABCD - равнобедренная трапеция.

• В равнобедренной трапеции диагонали равны.

AC = BD = 6 см

∠ВАС = 38°, ∠ACD = 97° - углы, которые образует диагональ АС с боковыми сторонами.

ΔАВD = ΔDCA по трем сторонам:

• AB = CD, так как трапеция равнобедренная,
• BD = АС как диагонали равнобедренной трапеции,
• AD - общая сторона.

Тогда ∠ABD = ∠ACD = 97°.

Из ΔАОВ:

∠АОВ = 180° - (∠ОАВ + ∠ОВА) = 180° - (38° + 97°) = 180° - 135° = 45°

• Площадь четырехугольника можно найти как половину произведения диагоналей на синус угла между ними.

$S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}AC\cdot BD\cdot \sin\angle AOB$

$S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 6\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}=9\sqrt{2}$

$\boldsymbol{S_{ABCD}=9\sqrt{2}}$ см²

Answer 2

Для нахождения площади равнобедренной трапеции, нам потребуется использовать формулу для площади трапеции:

\[S = \frac{a + b}{2} \times h,\]

где \(a\) и \(b\) - длины оснований, \(h\) - высота трапеции.

Нам известно, что диагональ трапеции равна 6 см и образует углы 38° и 97° с боковыми сторонами. Рассмотрим трапецию ABCD, где AB и CD - основания, а AC и BD - диагонали. Пусть углы при вершине A равны 38° и 97°.

Так как углы при вершине A, а также углы при вершине D (так как трапеция равнобедренная), суммируются до 180°, угол при вершине D равен \(180° - 97° = 83°\).

Теперь у нас есть два треугольника: ABD и BCD. Мы знаем длину диагонали AC (6 см) и угол при вершине B (угол BCD), который равен 83°.

Мы можем использовать закон косинусов, чтобы найти длины боковых сторон треугольника BCD:

\[BC^2 = AC^2 + BD^2 - 2 \cdot AC \cdot BD \cdot \cos(\text{угол BCD}).\]

Подставим известные значения:

\[BC^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos(83°).\]

Теперь найдем BC:

\[BC^2 = 36 + 36 - 72 \cdot \cos(83°).\]

\[BC^2 = 72 - 72 \cdot \cos(83°).\]

\[BC^2 ≈ 131.49.\]

\[BC ≈ \sqrt{131.49}.\]

\[BC ≈ 11.47.\]

Теперь у нас есть длины оснований трапеции (AB и CD) и длина боковой стороны BC. Мы также знаем угол при вершине B (угол BCD), который равен 83°.

Теперь мы можем использовать закон синусов, чтобы найти высоту трапеции (h):

\[\frac{h}{\sin(\text{угол BCD})} = \frac{BC}{\sin(\text{угол BAC})}.\]

Подставим известные значения:

\[\frac{h}{\sin(83°)} = \frac{11.47}{\sin(38°)}.\]

Теперь найдем h:

\[h = \sin(83°) \cdot \frac{11.47}{\sin(38°)}.\]

\[h ≈ 14.67.\]

Теперь, когда у нас есть длины оснований (AB и CD) и высота (h), мы можем использовать формулу для площади трапеции:

\[S = \frac{a + b}{2} \times h.\]

Подставим известные значения:

\[S = \frac{AB + CD}{2} \times h.\]

\[S = \frac{11.47 + 11.47}{2} \times 14.67.\]

\[S ≈ 169.07.\]

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции составляет примерно 169.07 квадратных сантиметров.