Question

А) Дайте определение средней линии треугольника и сформулируйте теорему о средней линии. б) Докажите, что четырёхугольник с вершинами в серединах сторон произвольного четырёхугольника является параллелограммом. В каком случае этот параллелограмм является ромбом? прямоугольником? квадратом? в) Верно ли, что в любом четырёхугольнике середины двух противоположных сторон и середины диагоналей являются вершинами параллелограмма?

Answer 1

А) Средняя линия треугольника: Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Теорема о средней линии: В треугольнике средняя линия, соединяющая середины двух сторон, равна по длине половине третьей стороны и параллельна ей.

Доказательство: Пусть у нас есть треугольник ABC, и M и N - середины сторон AB и AC соответственно. Тогда отрезок MN - средняя линия.

По определению середины отрезка MN, AM = MB и AN = NC.

Треугольник AMN - это треугольник с двумя сторонами, равными по длине сторонам треугольника ABC. Таким образом, треугольники AMN и ABC подобны.

Следовательно, углы AMN и ABC равны, и MN || BC. Также AM = MB = \( \frac{1}{2} \cdot AB \), что означает, что MN - это средняя линия треугольника ABC, равная половине стороны BC.

Б) Четырёхугольник с вершинами в серединах сторон: Рассмотрим четырёхугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного четырёхугольника.

Доказательство: Пусть у нас есть четырёхугольник ABCD, где E, F, G и H - середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно.

1. По теореме о средней линии, EF || AB и EF = \( \frac{1}{2} \cdot AB \). 2. Аналогично, GH || CD и GH = \( \frac{1}{2} \cdot CD \). 3. Так как EF || AB и GH || CD, то EF || GH.

Теперь, рассмотрим треугольники AEF и CDH. Они подобны по стороне-уголу, так как у них соответственные углы равны, а стороны пропорциональны.

Таким образом, AE/CD = EF/DH = AF/CH = 1/2.

Это означает, что AE = CD, EF = DH, и AF = CH. Следовательно, четырёхугольник EFGH - это параллелограмм.

Условия для ромба, прямоугольника и квадрата: 1. Ромб: Если все стороны четырёхугольника EFGH равны, то он является ромбом. 2. Прямоугольник: Если углы четырёхугольника EFGH прямые (то есть, он является параллелограммом с прямыми углами), то он является прямоугольником. 3. Квадрат: Если четыре стороны четырёхугольника EFGH равны и углы прямые, то он является квадратом.

В) Параллелограмм из середин сторон и диагоналей: Это утверждение верно. В любом четырёхугольнике, если соединить середины противоположных сторон и середины диагоналей, то получится параллелограмм.

Доказательство: Рассмотрим четырёхугольник ABCD и обозначим M, N, P и Q - середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно. Тогда MP и NQ - это серединные линии.

1. По теореме о средней линии, MP || AB и MP = \( \frac{1}{2} \cdot AB \). 2. Также, NQ || CD и NQ = \( \frac{1}{2} \cdot CD \).

Теперь рассмотрим треугольники MNP и CDA. Они подобны по стороне-уголу, так как у них соответственные углы равны, а стороны пропорциональны.

Это означает, что MP/CD = NP/DA = MN/CA = 1/2.

Следовательно, MP = NQ и MP || NQ, что говорит о том, что MNPQ - это параллелограмм.