Question

Найдите наименьшее и наибольшее значение для функции y=sin^2(x)cos^2(x)+3

Answer 1

Вот правильный ответ

Answer 2

Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции y = sin^2(x)cos^2(x) + 3, мы будем искать экстремумы функции.

Сначала найдем производную функции по x и приравняем ее к нулю:

dy/dx = 2sin(x)cos(x)cos^2(x) - 2sin^2(x)sin(x) = 0

Преобразуем это уравнение:

sin(x)cos(x)(2cos^2(x) - 2sin^2(x)) = 0

sin(x)cos(x)(cos^2(x) - sin^2(x)) = 0

Теперь рассмотрим каждый множитель по отдельности:

sin(x)cos(x) = 0

Множитель sin(x)cos(x) равен нулю, когда sin(x) = 0 или cos(x) = 0. Это наступает, когда x = 0, π/2, или π.

cos^2(x) - sin^2(x) = 0

Мы можем преобразовать это уравнение с использованием формулы cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x):

cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x) = 0

Так как 0 не равно cos(2x), это уравнение не имеет решений.

Теперь найдем значения функции y в найденных точках и на концах интервала, чтобы определить наименьшее и наибольшее значения:

y(0) = sin^2(0)cos^2(0) + 3 = 0 + 3 = 3

y(π/2) = sin^2(π/2)cos^2(π/2) + 3 = 1*0 + 3 = 3

y(π) = sin^2(π)cos^2(π) + 3 = 0*1 + 3 = 3

Таким образом, наименьшее и наибольшее значения функции y = sin^2(x)cos^2(x) + 3 равны 3.