Question

Дано точки (−3; 5), (4; 7), (5; 1) (−2; −1). Доведіть, що чотирикутник ABCD – паралелограм.

Answer 1

Щоб довести, що чотирикутник ABCD є паралелограмом, треба показати, що протилежні сторони паралельні та рівні.

Позначимо точки наступним чином: A(−3, 5) B(4, 7) C(5, 1) D(−2, −1)

Використаємо формулу для знаходження відстані між двома точками у декартовій системі координат:

Відстань між точками (x₁, y₁) та (x₂, y₂) дорівнює: \[ \sqrt{(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²} \]

Таким чином, довжини сторін чотирикутника ABCD визначаються наступним чином:

AB: \[ \sqrt{(4 - (-3))² + (7 - 5)²} = \sqrt{7² + 2²} = \sqrt{49 + 4} = \sqrt{53} \]

BC: \[ \sqrt{(5 - 4)² + (1 - 7)²} = \sqrt{1² + (-6)²} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37} \]

CD: \[ \sqrt{((-2) - 5)² + ((-1) - 1)²} = \sqrt{(-7)² + (-2)²} = \sqrt{49 + 4} = \sqrt{53} \]

DA: \[ \sqrt{((-3) - (-2))² + (5 - (-1))²} = \sqrt{(-1)² + 6²} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37} \]

Тепер порівняємо довжини протилежних сторін. Якщо сторони рівні, але протилежні сторони не рівні, то чотирикутник - паралелограм.

AB = CD (обидві \(\sqrt{53}\))

BC = DA (обидві \(\sqrt{37}\))

Отже, чотирикутник ABCD є паралелограмом, оскільки його протилежні сторони рівні та паралельні.