Question

Дано точки A(3; 7), B(–1; 3), C(–7; 4), D(–3; 8). Доведіть, що: а) ABCD — паралелограм; б) чотирикутник, вершини якого є серединами сторін чотирикутника ABCD, — паралелограм. Помогите пажалуйста срочно

Answer 1

Для того чтобы доказать, что ABCD - параллелограмм, нам нужно проверить два условия: 1) Противоположные стороны параллельны. 2) Противоположные стороны равны по длине.

Для начала найдем векторы AB, BC, CD и DA: 1) Вектор AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁) = (-1 - 3, 3 - 7) = (-4, -4) 2) Вектор BC = (x₂ - x₁, y₂ - y₁) = (-7 - (-1), 4 - 3) = (-6, 1) 3) Вектор CD = (x₂ - x₁, y₂ - y₁) = (-3 - (-7), 8 - 4) = (4, 4) 4) Вектор DA = (x₂ - x₁, y₂ - y₁) = (3 - (-3), 7 - 8) = (6, -1)

Теперь посмотрим, являются ли противоположные стороны параллельными. Для этого сравним направления векторов. Мы видим, что вектор AB (-4, -4) и вектор CD (4, 4) имеют противоположные направления. А также вектор BC (-6, 1) и вектор DA (6, -1) также имеют противоположные направления.

Теперь проверим, равны ли по длине противоположные стороны: AB = √((-4)² + (-4)²) = √(16 + 16) = √32 CD = √(4² + 4²) = √(16 + 16) = √32

BC = √((-6)² + 1²) = √(36 + 1) = √37 DA = √(6² + (-1)²) = √(36 + 1) = √37

Мы видим, что AB = CD и BC = DA.

Таким образом, выполнены оба условия и мы можем сделать вывод, что ABCD - параллелограмм.

Чтобы доказать, что вершины ABCD являются серединами сторон, разобьем ABCD на два треугольника: ABC и CDA.

1) В треугольнике ABC точка D является серединой стороны BC, так как координаты точки D (-3, 8) равны среднему арифметическому координат вершин B (-1, 3) и C (-7, 4): x₁ = (-1 - 7)/2 = (-8)/2 = -4 y₁ = (3 + 4)/2 = 7/2 = 3.5

2) В треугольнике CDA точка B является серединой стороны CD, так как координаты точки B (-1, 3) равны среднему арифметическому координат вершин C (-7, 4) и D (-3, 8): x₁ = (-7 - 3)/2 = (-10)/2 = -5 y₁ = (4 + 8)/2 = 12/2 = 6

Таким образом, мы видим, что вершины ABCD являются серединами сторон параллелограмма ABCD.

Это доказывает, что ABCD - параллелограмм, а его вершины являются серединами сторон ABCD.