Question

Чи є правильним твердження: 1) якщо діагоналі чотирикутника рівні, то цей чотирикутник — паралелограм; 2) якщо дві сторони чотирикутника паралельні й точка перетину діагоналей рівновіддалена від цих сторін, то цей чотирикутник — паралелограм; 3) якщо дві сторони чотирикутника паралельні, а дві інші — рівні, то цей чотирикутник — паралелограм; 4) якщо бісектриси двох протилежних кутів чотирикутника перпендикулярні до бісектриси його третього кута, то цей чотирикутник — паралелограм; 5) якщо діагональ чотирикутника розбиває його на два рівних трикутники, то цей чотирикутник — паралелограм; 6) якщо кожна діагональ чотирикутника розбиває його на два рівних трикутники, то цей чотирикутник — паралелограм; 7) якщо кожні дві протилежні вершини чотирикутника рівновіддалені від діагоналі, яка сполучає дві інші вершини, то цей чотирикутник — паралелограм? 2. Перпендикуляр, опущений із вершини B прямокутника ABCD на діагональ AC, ділить кут ABC на два кути, величини яких відносяться як 1 : 3. Знайдіть кут між проведеним перпендикуляром і діагоналлю BD.

Answer 1

1) Неправильне твердження. Наведений факт, що діагоналі чотирикутника рівні, не гарантує, що цей чотирикутник є паралелограмом. Наприклад, квадрат є паралелограмом і має рівні діагоналі, але існують інші чотирикутники з рівними діагоналями, які не є паралелограмами.

2) Правильне твердження. Якщо дві сторони чотирикутника паралельні, і точка перетину діагоналей знаходиться на однаковій відстані від цих сторін, то цей чотирикутник є паралелограмом.

3) Правильне твердження. Якщо дві сторони чотирикутника паралельні, а дві інші сторони рівні, то цей чотирикутник є паралелограмом. Це випливає з визначення паралелограма.

4) Правильне твердження. Якщо бісектриси двох протилежних кутів чотирикутника перпендикулярні до бісектриси третього кута, то цей чотирикутник є паралелограмом.

5) Неправильне твердження. Той факт, що діагональ розбиває чотирикутник на два рівні трикутники, не означає, що цей чотирикутник є паралелограмом. Наприклад, ромб може бути розбитим діагоналлю на два рівні трикутники, але не є паралелограмом.

6) Неправильне твердження. Той факт, що кожна діагональ розбиває чотирикутник на два рівні трикутники, не означає, що цей чотирикутник є паралелограмом. Наприклад, трапеція може бути розбита діагоналлю на два рівні трикутники, але не є паралелограмом.

7) Правильне твердження. Якщо кожні дві протилежні вершини чотирикутника рівновіддалені від діагонал

і, яка сполучає дві інші вершини, то цей чотирикутник є паралелограмом.

Answer 2

1. Необов'язково. Існують спеціальні паралелограми, такі як ромб, які мають рівні діагоналі, але не є прямокутниками.
2. Так, це правильне твердження. Якщо точка перетину діагоналей рівновіддалена від паралельних сторін, то це означає, що вони мають бути рівними, і кут між ними повинен бути 90 градусів.
3. Ні, це не правильно. Існують трапеції, які мають дві паралельні сторони і дві рівні сторони, але не є паралелограмами.
4. Так, це правильне твердження. У паралелограмі бісектриси будуть перпендикулярні між собою.
5. Ні, це не правильно. Існують різноманітні фігури, які можуть розділитися на два рівних трикутники, але не є паралелограмами.
6. Так, це правильне твердження. Для будь-якого паралелограма кожна діагональ ділить його на два рівних трикутники.
7. Ні, це не завжди правильно. Існують трапеції, які мають паралельні сторони, але не є паралелограмами.

2. Нехай кут ABC буде $x$. Згідно з умовою, ми маємо величини кутів відносно $x$ як $1:3$. Отже, кут B будет $x$ і кут C буде $3x$. Додамо ці два кути та встановимо суму рівну 90 градусам (тому що у прямокутнику сума всіх кутів дорівнює 90 градусам): $x + 3x = 90^\circ$ $4x = 90^\circ$ $x = \frac{90^\circ}{4} = 22.5^\circ$

Отже, кут між проведеним перпендикуляром і діагоналлю BD буде $22.5^\circ$.