Question

11.1.13. [МПГУ] Основанием пирамилы SABCD является прямоуголь- ник ABCD со сторонами а√3 и а. Ребро SС перпендикулярпо к плоско- сти основания, а ребро SA образует с ней угол а. Вычислить площадь сечения пирамиды плоскостью, параллельной прямой SA и проходящей через ВD.​

Answer 1

Для решения этой задачи нам нужно использовать геометрические свойства пирамиды и прямоугольника ABCD.

Итак, дано: - Прямоугольник ABCD со сторонами \( a\sqrt{3} \) и \( a \). - Ребро SC перпендикулярно к плоскости основания (прямоугольника ABCD). - Ребро SA образует угол \( \alpha \) с плоскостью основания.

Требуется найти площадь сечения пирамиды плоскостью, параллельной прямой SA и проходящей через BD.

Давайте обозначим точки пересечения этой плоскости с рёбрами пирамиды как P, Q, R, и T. Пусть P и Q - это точки пересечения с ребром BD, а R и T - с ребром SC. Тогда PQRT - это прямоугольник, образованный пересечением плоскости с пирамидой.

Так как плоскость параллельна SA и проходит через BD, то у неё тоже будет угол \( \alpha \) с плоскостью основания ABCD.

Теперь мы можем воспользоваться подобием треугольников и свойствами прямоугольника.

1. Треугольники ABC и SBC подобны по стороне-углу-стороне (SAS), так как угол \( \alpha \) общий, и у них прямые углы (ABC - прямоугольник). 2. Из подобия треугольников ABC и SBC следует, что соответствующие стороны пропорциональны.

3. Так как PQ параллельна SA, а PT и QS - пересекающие прямые, то треугольники PTQ и SAQ также подобны (по углу-углу). 4. Из подобия треугольников PTQ и SAQ следует, что соответствующие стороны пропорциональны.

Теперь обозначим длину стороны прямоугольника ABCD как \( b \). Тогда длина ST равна \( b \cos{\alpha} \), а длина PT равна \( b \sin{\alpha} \).

Площадь прямоугольника PQRT равна произведению длин его сторон:

\[ \text{Площадь PQRT} = PT \cdot ST = (b \sin{\alpha})(b \cos{\alpha}) = b^2 \sin{\alpha} \cos{\alpha} \]

Таким образом, мы выразили площадь сечения пирамиды плоскостью, параллельной прямой SA и проходящей через BD, используя параметры задачи.