Question

Точки А, В и С - середишы рёбер MK, MN и РК тетраэдра MPNK соответственно. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через эти точки, Найдите периметр построенного сечения, если PM = 8 см, KN - 6 см. 2. Основанием прямого параллелепипеда является ромб со стороной а и острым углом а. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда, если его меньшая диагональ составляет с плоско- стью основания угол в 3. Стороны основания треугольной пирамиды равны 6 см, 10 см и 14 см. Плоскости боковых граней образуют с плоскостью основания угол 60°. Найдите полную поверхность пирамиды. 1. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна а, высота равна b. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. 3. В шаре на расстоянии 12 см от центра проведена секущая плоскость так, что образовавшийся в сечении круг имеет радиус 5 см. Найдите площадь сферы.

Answer 1

Ответ:

1. P = 14 см

2. $\rm S_{P} = 2a^{2}(4 \sin (0,5\alpha )\ tg \ \beta + \sin \alpha )$

3. $S_{p} = 45\sqrt{3}$ см²

Объяснение:

1.

Дано: MPNK - тетраэдр, MA = KA, KC = PC, MB = BN, KN = 6 см,

PM = 8 см

Построить: сечение ABC

Найти: $P \ - \ ?$

План построения:

Так как по условию:

• А ∈ MK, a MK ⊂ KMN,KMP, то A ∈ MKN,KMP
• B ∈ MN, a MN ⊂ KMN,PMN, то B ∈ MKN,PMN
• C ∈ PK, a PK ⊂ KNP,KPM то C ∈ KNP,KMP

По аксиоме стереометрии (аксиома прямой и плоскости) прямая, проходящая через две точки плоскости, лежит в этой плоскости, тогда:

• Так как A,B ∈ MKN, то AB ⊂ MKN
• Так как A,C ∈ KMP, то AC ⊂ KMP

Тогда проведем отрезки AB и AC.

По определению средняя линия треугольника - это отрезок, которой соединяет середины двух его сторон.

Рассмотрим треугольник ΔKMN. Так как по условию MA = KA и

MB = BN, то по определению отрезок AB - средняя линия.

Рассмотрим треугольник ΔKMP. Так как по условию MA = KA и

KC = PC, то по определению отрезок AC - средняя линия.

Через точку B проведем прямую параллельную MP, пусть эта прямая пересекает NP в точке T, то есть BT║MP.

По основному свойству отрезка:

MN = BN + BM = 2BN = 2BM (по условию BN = BM).

Треугольник $зNBT \sim зNMP$ по двум углам, так как угол ∠MNP - общий, а угол ∠NBT = ∠NMP как соответственные углы при параллельных прямых, так как по построению BT║MP. Так как треугольник $зNBT \sim зNMP$, то по свойствам подобных треугольников:

$\dfrac{PN}{TN} = \dfrac{MN}{BN} = \dfrac{2BN}{BN} = \dfrac{2}{1} \Longrightarrow PN = 2TN$.

$PN = 2TN \Longrightarrow TN = \dfrac{PN}{2}$, то есть NT = TP и точка T - середина PN.

Тогда в треугольниках ΔMNP, ΔKPN так как KC = PC по условию и по следствию из построения NT = TP, то отрезки BT,CT - среднии линии в соответствующих треугольниках.

Так как AC - средняя линия треугольника ΔKPM, то по свойствам средней линии AC║MP.

$\displaystyle \left \{ {{ BT \parallel MP } \atop { AC \parallel MP }} \right \Longrightarrow \boxed{AC \parallel BT}$

По теореме если прямая, которая не принадлежит данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, которая лежит в этой плоскости, то данная прямая параллельна самой плоскости, так как AC║BT и AC ⊄ MNP, то AC║MNP.

По теореме если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой, так как AC ⊂ ABC , AC║MNP, а так как AC║BT и по теореме через точку можно провести только одну прямую параллельную данной, то

T ∈ ABC.

Так как по построению T ∈ NP, а NP ⊂ MNP,KNP, то T ∈ MNP,KNP.

По аксиоме стереометрии (аксиома прямой и плоскости) прямая, проходящая через две точки плоскости, лежит в этой плоскости, тогда:

• Так как T,B ∈ MNP, то TB ⊂ MNP
• Так как T,C ∈ KNP, то TC ⊂ KNP

Тогда проведем отрезки TB и TC.

Таким образом сечением тетраэдра MPNK проведенного через точки A,B,C является четырехугольник BACT.

По свойствам средней линии она равна половине стороне к которой параллельна:

Так как BT, AC - среднии линии и AC,BT║MP, то AC = BT =

= MP : 2 = 8 : 2 = 4 см.

Так как AB, CT - среднии линии и AB,CT║KN, то AB = CT =

= KN : 2 = 6 : 2 = 3 см.

По определению периметра многоугольника:

P = AC + BT + AB + CT = 4 + 4 + 3 + 3 = 14 см.

2.

Дано: $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ - прямой параллелепипед, ABCD - ромб,

AC = a, ∠BAC = α, $\angle (B_{1}C,ABC) = \beta$

Найти: $S_{p} \ - \ ?$

Решение:

Пусть AD ∩ BC = O.

Так как по условию ABCD - ромб, то по свойствам ромба все его стороны равны, тогда так как AC = a, то AB = BD = DC = a.

По определению периметра многоугольника:

$P_{ABCD} = AB + AC + DC+ DB = a + a + a + a = 4a$.

По свойствам ромба (ABCD) его диагонали являются биссектрисами углов, тогда AD - биссектриса угла ∠BAC.

По определению биссектрисы:

∠BAD = ∠CAD = ∠BAC : 2 = α : 2 = 0,5α.

По свойствам ромба (ABCD) его диагонали перпендикулярны, тогда BC ⊥ AD, следовательно угол ∠AOC = 90°.

Рассмотрим треугольник ΔAOC, который является прямоугольным, так как угол ∠AOC = 90°.

По определению тангенса в прямоугольном треугольнике:

$\sin \angle OAC = \dfrac{OC}{AC} \Longrightarrow OC = AC \cdot \sin \angle OAC = a \sin( 0,5\alpha )$.

По свойствам ромба (ABCD) его диагонали точкой пересечения делятся пополам, тогда BO = OC, следовательно по основному свойству отрезка:

$BC = BO + OC = 2BO = 2OC = 2a \sin(0,5\alpha )$.

По свойствам прямого параллелепипеда ($ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$) боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть $BB_{1} \perp ACB$.

По определению прямая перпендикулярная к плоскости перпендикулярна к любой прямой лежащей в этой плоскости, то так как $BB_{1} \perp ACB$ и $CB \subset ABC$, то $BB_{1} \perp BC$, следовательно треугольник $зBB_{1}C$ - прямоугольный.

Продолжение решения этой и других задач смотрите в вордовском файле!!!

Answer 2

Давайте посмотрим на каждую из задач по очереди.

1. Сначала рассмотрим задачу о сечении тетраэдра MPNK плоскостью, проходящей через точки A, B и C, где PM = 8 см, и KN = 6 см.

   Сначала найдем длины отрезков MA, MB и MC:

   Поскольку A - середина ребра MK, то MA = MK / 2 = 8 см / 2 = 4 см. Аналогично, MB = MN / 2 = 6 см / 2 = 3 см. И MC = PK / 2 = 8 см / 2 = 4 см.

   Теперь у нас есть три стороны треугольника ABC, и мы можем найти его периметр:

   Периметр ABC = MA + MB + MC = 4 см + 3 см + 4 см = 11 см.

2. Теперь рассмотрим задачу о параллелепипеде, у которого основание - ромб со стороной a и острым углом a, и меньшая диагональ образует угол 3° с плоскостью основания.

   Для нахождения площади полной поверхности параллелепипеда нам нужно найти площадь всех его граней и затем сложить их.

   Параллелепипед имеет 6 граней:

   • 2 грани с площадью a * a (основания параллелепипеда).
   • 4 грани с площадью a * a * sin(3°) (боковые грани).

   Теперь мы можем найти площадь полной поверхности:

   Площадь полной поверхности = 2 * (a * a) + 4 * (a * a * sin(3°)).

3. Следующая задача касается треугольной пирамиды со сторонами основания 6 см, 10 см и 14 см, где боковые грани образуют угол 60° с плоскостью основания.

   Для нахождения площади полной поверхности пирамиды нам нужно:

   • Найти площадь основания.
   • Найти площадь боковых граней.

   Площадь основания пирамиды с треугольным основанием можно найти, используя формулу Герона.

   Площадь боковых граней можно найти, зная стороны основания и угол между боковой гранью и плоскостью основания (60°). Тогда площадь боковой грани равна (1/2) * a * b, где a и b - стороны основания.

   Затем сложите площадь основания и площадь боковых граней, чтобы найти площадь полной поверхности пирамиды.

4. В четвертой задаче у нас есть правильная четырёхугольная пирамида с основанием a и высотой b. Для нахождения площади полной поверхности пирамиды нужно найти площадь основания и площадь боковых граней. Площадь основания просто равна a^2 (для правильной четырёхугольной пирамиды).

   Площадь боковых граней можно найти, используя формулу для площади треугольника (1/2) * основание * высота. Основание треугольников будет равно a, а высота будет равна б.

   Затем сложите площадь основания и площадь боковых граней, чтобы найти площадь полной поверхности пирамиды.

5. Наконец, в пятой задаче у нас есть шар с радиусом 12 см, и через него проведена секущая плоскость, образующая круг радиусом 5 см.

   Для нахождения площади сферы, мы можем воспользоваться формулой площади круга: S = π * r^2, где r - радиус.

   В данном случае, радиус сферы r = 12 см.

   Площадь сферы S = π * (12 см)^2.