Question

Допоможіть будь ласка срочно даю 100 балів, знайдіть центр і радіус кола, заданого рівнянням: 1)x² + 10x + y² - 12y = 0 2)x²+y²+4x-10y-7=0 3)x²-12x+y²-5=0 знайдіть відстань між центрами кіл, які задано рівняннями: x²+y²-4y=0; x²+y²+2x-8y-7=0

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

$  1) x² + 10x + y² - 12y = 0 ; виділяємо квадрати двочленів :

    ( x² + 2*x * 5 + 5² ) - 5² + ( y² - 2* y *6 + 6² ) - 6² = 0

    ( x + 5 )² + ( y - 6 )² = 61 ; - коло з центром (- 5 ; 6 ) і радіусом R =√61.

  2) Так само .  ( x + 2 )² + ( y - 5 )²= 36 ; центр (- 2 ; 5 ) ,  R = 6 .

  3) Так само . ( x - 6 )² + ( y - 0 )² = 41 ;   центр ( 6 ; 0 ) , R = √41 .

     $ x²+ y²- 4y = 0 ;

  x² + ( y - 2 )² = 4 ; - коло з центром M( 0 ; 2 )  ,  R = 2 ;

        x²+ y²+ 2x - 8y - 7 = 0 ;

  ( x + 1 )² + ( y - 4 )² = 24 ;- коло з центром N(- 1 ; 4 )  ,  R = √24 .

  Відстань між центрами даних кіл MN = √[ ( 0 + 1 )² + ( 2 - 4 )² ] = √5 .

Answer 2

Щоб знайти центр і радіус кола, заданого рівнянням, спочатку треба привести рівняння до канонічного вигляду $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, де $(a,b)$ - центр кола, а $r$ - радіус.

1) Рівняння: $x^2 + 10x + y^2 - 12y = 0

Спочатку згрупуємо $x$-та і $y$-та доданки разом:

$(x^2 + 10x) + (y^2 - 12y) = 0$

Завершимо квадратичну частину:

$x^2 + 10x + (10/2)^2 + y^2 - 12y + (-12/2)^2 = (10/2)^2 + (-12/2)^2$

$x^2 + 10x + 25 + y^2 - 12y + 36 = 25 + 36$

$(x + 5)^2 + (y - 6)^2 = 36$

Таким чином, центр кола - $(-5, 6)$, а радіус - $\sqrt{36} = 6$.

2) Рівняння: $x^2 + y^2 + 4x - 10y - 7 = 0

Аналогічно до попереднього випадку, згрупуємо $x$-та і $y$-та доданки:

$(x^2 + 4x) + (y^2 - 10y) = 7$

Завершимо квадратичну частину:

$x^2 + 4x + (4/2)^2 + y^2 - 10y + (-10/2)^2 = (4/2)^2 + (-10/2)^2$

$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 10y + 25 = 4 + 25$

$(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 25$

Таким чином, центр кола - $(-2, 5)$, а радіус - $\sqrt{25} = 5$.

3) Рівняння: $x^2 - 12x + y^2 - 5 = 0

Аналогічно до попередніх випадків, згрупуємо $x$-та і $y$-та доданки:

$(x^2 - 12x) + (y^2 - 5) = 0$

Завершимо квадратичну частину:

$x^2 - 12x + (-12/2)^2 + y^2 - 5 = (-12/2)^2$

$x^2 - 12x + 36 + y^2 - 5 = 36$

$(x - 6)^2 + y^2 = 5$

Таким чином, центр кола - $(6, 0)$, а радіус - $\sqrt{5}$.

Тепер, щоб знайти відстань між центрами колів, заданих рівняннями, ми можемо використати формулу відстані між двома точками:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Тут $(x_1, y_1)$ - координати першого центра кола, а $(x_2, y_2)$ - координати другого центра кола.

Рівняння: $x^2 + y^2 - 4y = 0$

Центр першого кола - $(0, 2)$.

Рівняння: $x^2 + y^2 + 2x - 8y - 7 = 0$

Центр другого кола - $(-1, 4)$.

Тепер підставимо ці значення в формулу відстані:

$d = \sqrt{((-1) - 0)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

Таким чином, відстань між центрами колів становить $\sqrt{5}$.