Question

Помогите пожалуйста решить задачу по геометрии. Основанием прямой призмы является ромб с острым углом 30°. Боковые грани призмы - квадраты. Площадь полной поверхности призмы равна 60 см2. Найдите площадь круга, вписанного в основание данной призмы.

Answer 1

Ответ:

Площадь круга, вписанного в основание данной призмы равна 3π/4 см².

Объяснение:

Основанием прямой призмы является ромб с острым углом 30°. Боковые грани призмы - квадраты. Площадь полной поверхности призмы равна 60 см2. Найдите площадь круга, вписанного в основание данной призмы.

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямая призма;

ABCD - ромб; ∠ВАD = 30°;

Боковые грани - квадраты;

Sпп = 60 см²

Окр.О - вписана в ABCD.

Найти: Sкр

Решение:

Проведем высоту ВН.

Пусть AB = a см.

У ромба все стороны равны. Боковые грани - квадраты.

⇒ все ребра равны а см.

• Площадь полной поверхности призмы равна:

     Sпп = Sбок + 2Sосн

• Площадь боковой поверхности призмы равна:

    Sбок = Росн · h,

где h - высота призмы.

Pосн = Р(ABCD) = 4a см; h = AA₁ = a см.

Sбок = 4а · а = 4а² (см²)

     Sромба = а² · sinα,

где а - сторона ромба, α - угол между этими сторонами.

Sосн = S(ABCD) = a² · sin 30° = a²/2 (см²)

Sпп = 4а² + 2 · а²/2 = 5а²

60 = 5а²   |:5

a² = 12   ⇒   a = 2√3 см

Рассмотрим ΔАВН - прямоугольный.

∠АВН = 30°

• Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

⇒ ВН = АВ : 2 = √3 (см)

• Площадь круга равна:

     Sкр = πr²

• Высота ромба равна диаметру вписанной окружности.
• Радиус равен половине диаметра.

⇒ r = OE = BH : 2 = √3/2 (см)

Sкр = π · 3/4 = 3π/4 (см²)

Площадь круга, вписанного в основание данной призмы равна 3π/4 см².

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно найти площадь круга, вписанного в основание данной призмы. Для этого мы можем воспользоваться информацией о форме призмы и её площади поверхности.

Итак, у нас есть следующие данные: - Основание призмы - ромб с острым углом 30°. - Боковые грани призмы - квадраты. - Площадь полной поверхности призмы равна 60 квадратных сантиметров (см²).

Давайте разберемся с геометрией данной призмы. Рассмотрим основание ромба. Если у нас есть ромб с острым углом 30°, то это означает, что угол между его диагоналями равен 60°. Это важно для дальнейших вычислений.

Площадь поверхности призмы складывается из площадей двух равных треугольников, которые образуются диагоналями ромба, и четырех квадратов, которые являются боковыми гранями призмы.

Площадь одного треугольника равна: \[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot \text{база} \cdot \text{высота}\]

В данном случае, база треугольника - это одна из диагоналей ромба, а высота - это половина другой диагонали. Для ромба с углом 60°, диагонали равны между собой, и мы можем обозначить длину диагонали как \(d\).

Таким образом, площадь одного треугольника равна: \[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot d \cdot \frac{d}{2} = \frac{d^2}{4}\]

Известно, что у нас есть 4 таких треугольника в призме, поэтому площадь всех четырех треугольников равна: \[4 \cdot \frac{d^2}{4} = d^2\]

Теперь у нас есть площадь боковой поверхности призмы, которая равна сумме площадей всех её боковых граней, и площадь одной боковой грани - это квадрат со стороной \(d\). Таким образом, площадь боковой поверхности призмы равна: \[S_{\text{боковой поверхности}} = 4 \cdot d^2\]

Известно, что площадь полной поверхности призмы равна 60 см², поэтому мы можем записать уравнение: \[4 \cdot d^2 + \text{площадь верхней и нижней граней} = 60\]

Поскольку верхняя и нижняя грани призмы - это квадраты, их площади равны: \[S_{\text{верхней и нижней грани}} = 2 \cdot a^2\]

где \(a\) - длина стороны квадрата.

Теперь мы знаем, что площадь полной поверхности призмы равна 60 см², и можем записать уравнение: \[4 \cdot d^2 + 2 \cdot a^2 = 60\]

Теперь давайте рассмотрим основание призмы, которое является ромбом. Ромб можно разделить на четыре равных треугольника с углом 30° каждый. Таким образом, угол между двумя смежными сторонами ромба равен 30°.

Теперь мы можем использовать геометрические свойства ромба. Пусть \(s\) - длина стороны ромба, и \(R\) - радиус вписанного в ромб круга. Тогда, используя свойства ромба, мы можем записать: \[s = 2R\]

Теперь у нас есть связь между стороной ромба и радиусом вписанного в него круга.

Сначала найдем длину диагонали ромба \(d\). Диагональ ромба можно найти, используя его сторону \(s\) и угол 30°: \[d = 2s \sin(30^\circ)\]

Затем найдем площадь одной боковой грани призмы, используя сторону ромба \(s\): \[S_{\text{боковой грани призмы}} = s^2\]

Теперь мы можем выразить площадь боковой грани призмы через радиус вписанного в ромб круга \(R\), так как \(s = 2R\): \[S_{\text{боковой грани призмы}} = (2R)^2 = 4R^2\]

Итак, у нас есть площадь боковой грани призмы и площадь боковой поверхности призмы. Теперь мы можем записать уравн