Question

Через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая,пересекающая сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника АВС к площади четырехугольника КРСМ

Answer 1

Суть в том, что четырехугольник надо разбить на два треугольника, проведя СK. Тогда площадь треугольника МКС будет равна площади треугольника АКМ (так как проведена медиана). Если обозначить площадь треугольника АВК за S, то площадь АКМ=площадьМКС=1,5 S. Если обозначить площадь треугольника КВР за S1, то площадь треугольника КРС будет равна 3S1 (треугольники подобны). Так как  площадь треугольников АВМ и МВС равны (проведена медиана), и площади АКМ и КМС равны, значит, площади АВК и ВКС тоже равны. Получается, что S=S1+3S1 => S=4S1. Далее, отношение площади АВС к КРСМ будет равно отношению (S+S+3S) к (3S1+1,5S), куда вместо S1 нужно подставить 0,25S, в итоге получается 5/2,25=1/0,45=20/9.

Ответ: 20/9