Question

сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов. Найдите площадь полной поверхности пирамиды

Answer 1

Ответ:

$27\sqrt{3}$ ед².

Объяснение:

Обозначим данную пирамиду буквами $EABC$.

$AB=6$ ед.

Проведём высоту $EO$. Точка $O$ - центр $\triangle ABC$ - точка пересечения, медиан, высот и биссектрис треугольника.

Проведём апофему $EH$ (апофема - это высота боковой грани пирамиды, проведённая из вершины пирамиды) к стороне $BC$ основания пирамиды.

Т.к. данная пирамида - правильная, треугольная ⇒ основание пирамиды - правильный треугольник.

$\Rightarrow AB = BC = AC = 6$.

Проведём высоту $AH$ в $\triangle ABC$.

Т.к. $\triangle ABC$ - равносторонний ⇒ $AH$ - высота, медиана, биссектриса.

$\Rightarrow BH = HC = BC:2 = 6:2 = 3$

Высота $AH$ и апофема $EH$ имеют общее основание, а именно точку $H$, т.к. $AH$ - медиана, а апофема $EH$ делит $BC$ пополам (по свойству).

$\angle EHO = 60^{\circ}$.

Рассмотрим $\triangle AHC$:

$\triangle AHC$ - прямоугольный, так как $AH$ - высота.

Найдём высоту $AH$ по теореме Пифагора: $(a^2 = c^2 - b^2)$

$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ ед.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Точка O - пересечение медиан и делит их в отношении 2 : 1, считая от вершины.

$\Rightarrow OH = 1/3AH = 1/3 \cdot 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$ ед.

$AO = 2/3AH = 2/3 \cdot 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ ед.

Рассмотрим $\triangle EOH$:

$\triangle EOH$ - прямоугольный, так как $EO$ - высота.

Если угол прямоугольного треугольника равен $60^{\circ}$, то напротив лежащий катет равен произведению меньшего катета на $\sqrt{3}$.

$EO = OH \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}= 3$ ед.

Найдём апофему по теореме Пифагора: $(c^2 = a^2 + b^2)$

$EH = \sqrt{EO^2 + OH^2} = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ ед.

====================================================

$S$ полн. поверх. = S основ. + S бок.поверх.

$S$ осн. = $S_{\triangle ABC} = \dfrac{AB^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ ед².

$S$ бок. поверх. = $1/2 \: \cdot$ ($P$ осн. $\cdot \: L$), где $L$ - апофема.

$P$ осн. $= AB + BC + AC = 6 + 6 + 6 = 18$ ед.

⇒ $S$ бок. поверх. = $1/2\cdot(18 \cdot 2\sqrt{3}) = 18\sqrt{3}$ ед².

⇒ $S$ полн. поверх. = $9\sqrt{3} + 18\sqrt{3} = 27\sqrt{3}$ ед².

Answer 2

Ответ: 27√3

Объяснение:во лож

Answer 3

Для решения этой задачи нам нужно знать формулы для площади правильного треугольника, площади боковой поверхности правильной пирамиды и площади полной поверхности правильной пирамиды. Эти формулы можно найти на сайте [Онлайн школа](https://ru.onlinemschool.com/math/formula/pyramid/) или [Формулы и расчеты онлайн](https://www.fxyz.ru/%d1%84%d0%be%d1%80%d0%bc%d1%83%d0%bb%d1%8b_%d0%bf%d0%be_%d0%b3%d0%b5%d0%be%d0%bc%d0%b5%d1%82%d1%80%d0%b8%d0%b8/%d1%84%d0%be%d1%80%d0%bc%d1%83%d0%bb%d1%8b_%d0%bf%d0%bb%d0%be%d1%89%d0%b0%d0%b4%d0%b8/%d0%b1%d0%be%d0%ba%d0%be%d0%b2%d0%b0%d1%8f_%d0%bf%d0%be%d0%b2%d0%b5%d1%80%d1%85%d0%bd%d0%be%d1%81%d1%82%d1%8c_%d0%bf%d1%80%d0%b0%d0%b2%d0%b8%d0%bb%d1%8c%d0%bd%d0%be%d0%b9_%d0%bf%d0%b8%d1%80%d0%b0%d0%bc%d0%b8%d0%b4%d1%8b/).

Пусть a - сторона основания, h - высота пирамиды, l - боковое ребро, p - периметр основания, S - площадь основания, Sb - площадь боковой поверхности, Sp - площадь полной поверхности.

Из условия задачи мы знаем, что a = 6 и угол между боковым ребром и основанием равен 60 градусов. Тогда мы можем найти h и l по теореме Пифагора:

h = l * sin(60°) = l * √3 / 2

a / 2 = l * cos(60°) = l / 2

Отсюда l = a = 6 и h = 6 * √3 / 2 ≈ 5.2

Теперь мы можем найти площадь основания по формуле:

S = √3 * a² / 4 = √3 * 6² / 4 = 9 * √3 ≈ 15.6

Периметр основания равен:

p = 3 * a = 3 * 6 = 18

Площадь боковой поверхности равна:

Sb = p * h / 2 = 18 * (6 * √3 / 2) / 2 = 27 * √3 ≈ 46.8

Площадь полной поверхности равна:

Sp = S + Sb = (9 + 27) * √3 ≈ 62.4

Ответ: площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды с данными параметрами равна 62.4 кв. ед.