Question

Дан четырёугольник ABCD. Известно, что AB || CD, BC || AD. Докажите, что биссектрисы углов A и C паралельны или совпадают

Answer 1

Т,к. AB║DC AD║ BC ABCD- параллелограмм

т.к. CM и AN биссектриса ∠BCD= ∠MCD=∠DAN=∠BAN

Т.к. AB║CD ∠BAN=∠DNA , соответственно ∠BMC=∠MCD

т.к. биссектрисы падают под равными углами на параллельные прямые=>

AN║MC

Answer 2

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойством параллельных прямых.

1. Пусть биссектрисы углов A и C пересекаются в точке O.

2. Проведем от точки O линию, параллельную сторонам AB и CD.

3. Обозначим точки пересечения этой линии с сторонами AB и CD через E и F соответственно.

4. По свойству биссектрисы угла, угол AEO равен углу OEC, а угол COF равен углу FCO.

5. Также, у нас дано, что AB || CD и BC || AD. Значит, углы A и C являются соответственными углами, а значит, угол A острый, и угол C тупой.

6. Если угол A острый, то из свойств острого угла следует, что угол AEO тоже острый или прямой. Аналогично, угол COF тупой или прямой.

7. Так как угол C тупой, угол AEO тоже не может быть тупым. Значит, угол AEO острый или прямой.

8. Следовательно, у нас получается, что угол AEO острый или прямой, и угол COF тупой или прямой в одном треугольнике.

9. Однако, если угол AEO и угол COF лежат в одном треугольнике и являются прямыми или острыми углами, то их биссектрисы не могут быть параллельными или совпадающими.

10. Значит, наше исходное предположение о пересечении биссектрис точкой O неверно.

11. Следовательно, биссектрисы углов A и C должны быть параллельными или совпадающими.

Таким образом, мы доказали, что биссектрисы углов A и C параллельны или совпадают.