Question

Даны точки A(2;3),B(5;5),C(8;3),D(5;1). Докажите, что отрезки AC и BD пересекаются и точки пересечения делятся пополам.

Answer 1

Найдем координаты точки М, середины отрезка АС:

$\tt M\bigg(\dfrac{2+8}{2} ; \ \dfrac{3+3}{2} \bigg) \ \ \Rightarrow \ \ M(5;3)$

Найдем координаты точки N, середины отрезка BD:

$\tt N\bigg(\dfrac{5+5}{2} ; \ \dfrac{5+1}{2} \bigg) \ \ \Rightarrow \ \ N(5;3)$

Координаты середин отрезков АС и ВD совпадают, следовательно, данные отрезки пересекаются в точке (5; 3) и этой точкой делятся пополам, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства того, что отрезки AC и BD пересекаются и точки пересечения делятся пополам, мы можем воспользоваться свойствами средней точки (точки деления отрезка пополам) и свойствами прямых.

Шаг 1: Найдем координаты точек пересечения AC и BD. Для этого найдем уравнения прямых, проходящих через отрезки AC и BD.

Уравнение прямой, проходящей через две точки (x1, y1) и (x2, y2), имеет вид:

(y - y1) = m(x - x1),

где m - это угловой коэффициент прямой и вычисляется как m = (y2 - y1) / (x2 - x1).

Для отрезка AC: A(2, 3) и C(8, 3). Угловой коэффициент m_AC = (3 - 3) / (8 - 2) = 0.

Уравнение прямой AC: (y - 3) = 0(x - 2), y = 3.

Для отрезка BD: B(5, 5) и D(5, 1). Угловой коэффициент m_BD = (1 - 5) / (5 - 5) = -4 / 0 (деление на ноль - вертикальная прямая).

Так как угловой коэффициент m_BD вычисляется как "деление на ноль", это говорит о том, что прямая BD является вертикальной, проходящей через точку (5, 1).

Уравнение прямой BD: x = 5.

Шаг 2: Найдем точку пересечения этих прямых. Точка пересечения прямых AC и BD должна удовлетворять уравнениям обеих прямых (т.е. она должна лежать на обоих прямых).

Для точки пересечения (x, y) уравнения прямых AC и BD должны выполняться одновременно:

Уравнение AC: y = 3. Уравнение BD: x = 5.

Таким образом, точка пересечения данных прямых (x, y) имеет координаты (5, 3).

Шаг 3: Доказательство того, что точка пересечения делит отрезки AC и BD пополам. Для этого найдем координаты середин каждого из отрезков AC и BD и проверим, что эти координаты совпадают с точкой пересечения.

Середина отрезка AC: x_mid_AC = (2 + 8) / 2 = 10 / 2 = 5, y_mid_AC = (3 + 3) / 2 = 6 / 2 = 3.

Середина отрезка BD: x_mid_BD = (5 + 5) / 2 = 10 / 2 = 5, y_mid_BD = (5 + 1) / 2 = 6 / 2 = 3.

Как видим, координаты середин отрезков AC и BD равны (5, 3), что совпадает с координатами точки пересечения.

Таким образом, мы доказали, что отрезки AC и BD пересекаются в точке (5, 3) и что эта точка делит оба отрезка пополам.