Question

Вычислите площадь криволинейной трапеции ограниченной линиями f(x) =-x²+3x, y=0

Answer 1

F(x) =  x(- x + 3)
точки пересечения с прямой y = 0
x₁ = 0
x₂ = 3
---
Площадь фигуры между параболой и осью Ох
$S = \int\limits^3_0 {- x^2 + 3x} \, dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \bigg |_0^3 = -\frac{3^3}{3} + \frac{3*3^2}{2} = -\frac{27}{3} + \frac{27}{2} = \\ \\ S = 13.5 - 9 = 4.5$

Answer 2

Чтобы вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями f(x) = -x² + 3x и y = 0, нам нужно найти интеграл от разности значений этих функций на соответствующем интервале.

Сначала найдем точки пересечения двух функций, чтобы определить границы трапеции. Приравняем f(x) = -x² + 3x к 0:

-x² + 3x = 0

Получаем два решения: x₁ = 0 и x₂ = 3.

Теперь мы знаем, что трапеция ограничена вертикальными линиями x = 0 и x = 3.

Площадь криволинейной трапеции можно найти с помощью следующего интеграла:

S = ∫[a, b] |f(x)-g(x)| dx,

где a и b - границы трапеции, f(x) - верхняя граница, g(x) - нижняя граница.

В данном случае нижняя граница g(x) = 0, а верхняя граница f(x) = -x² + 3x.

Таким образом, площадь трапеции будет:

S = ∫[0, 3] |(-x² + 3x) - 0| dx
= ∫[0, 3] |-x² + 3x| dx

Проинтегрируем это выражение. Обратите внимание, что модуль можно раскрыть следующим образом:

|-x² + 3x| =
-x² + 3x, при x ≤ 3,
x² - 3x, при x > 3.

Теперь можем записать площадь трапеции:

S = ∫[0, 3] (-x² + 3x) dx + ∫[3, 3] (x² - 3x) dx

Вычислим первый интеграл:

∫[0, 3] (-x² + 3x) dx = [-1/3x³ + 3/2x²] [0, 3]
= -1/3(3)³ + 3/2(3)² - (-1/3(0)³ + 3/2(0)²)
= -27/3 + 27/2
= -9 + 13.5
= 4.5

Вычислим второй интеграл:

∫[3, 3] (x² - 3x) dx = 0

Таким образом, площадь криволинейной трапеции ограниченной линиями f(x) = -x² + 3x и y = 0 равна 4.5.