Question

Буду очень благодарен!!   Найти объем правильной четырехугольной пирамиды, диагональ основания которой равна 4 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°       Знайти об'єм правильної чотирикутної піраміди, діагональ основи якої дорівнює 4 см, а бічне ребро утворює з площиною основи кут 45°            

Answer 1

В  правильной  4-хугольной  пирамиде  основанием  является  квадрат,  а  высота

 

пирамиды  проектируется  в  центр  основания.   Боковое   реброобразует  с  плоскостью

 

основания  угол  45  градусов,   значит   высота  пирамиды  будет  равна  половине

 

диагонали   основания  и  будет  равна   2  см.  А  площадь   основания   (квадрата)

 

будет  равна   половине  произведения  его  диагоналей S осн =  1/2*4*4  =  8(см^2)

 

V пир  =  1/3Sосн*H

 

Vпир =  1/3 * 8*2  =   16/3   =  5целых 1/3(см^3)

Answer 2

Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды, нам понадобятся следующие данные: длина диагонали основания, а также угол между боковым ребром и плоскостью основания.

По определению, правильная пирамида - это пирамида, у которой все боковые грани равны по размерам и все вершины граничат только с боковыми ребрами.

Обозначим:
d - длина диагонали основания
a - длина стороны основания (в случае четырехугольной пирамиды)

Для начала найдем сторону основания a.
Так как данный четырехугольник - правильный, то все его стороны равны.
Поэтому можно разделить его на два равнобедренных треугольника.
Так как диагональ длиной 4 см является основанием треугольника, а угол между боковым ребром и плоскостью основания составляет 45°, то это означает, что каждый из этих треугольников является равнобедренным прямоугольным треугольником с гипотенузой d и равными катетами a.

Для нахождения значения a, воспользуемся свойством равнобедренного треугольника: a = d / √2.

Теперь, имея сторону основания a и зная высоту пирамиды h, мы можем найти ее объем по формуле: V = (1/3) * S * h, где S - площадь основания.

Подсчитаем площадь основания S:
S = a^2 = (d / √2)^2 = (d^2 / 2).

Кроме того, нам необходимо найти высоту пирамиды h. Чтобы сделать это, посмотрим на правильную пирамиду со сечением, проходящим через вершину и перпендикулярное основанию. Полученная проекция показывает нам высоту, которая является катетом прямоугольного треугольника с гипотенузой a и углом в 45°. Из этого треугольника можно найти h, используя соотношение sin(45°) = h / a.

Заметим, что sin(45°) = √2 / 2.

Тогда h = a * (√2 / 2) = (d / √2) * (√2 / 2) = d/2.

Теперь мы имеем все данные для расчета объема пирамиды:

V = (1/3) * S * h = (1/3) * (d^2 / 2) * (d/2) = (1/12) * d^3.

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды равен (1/12) * d^3, где d - длина диагонали основания пирамиды.