Question

В параллелограмме ABCD точка М — середина стороны ВС, отрезки BD и AM пересекаются в точке О. а)° Выразите AM через AB и AD. б) Выразите BO через BA и BC. в) Выразите OD через AP и AM, если Р — середина отрезка CD. г)* Докажите, что OP < 2/3 AD + 1/6 АВ, если Р — середина отрезка CD.

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:http://uchees.ru/img-file/58523121531.jpg

Answer 2

a) Так как точка M является серединой стороны BC параллелограмма ABCD, то AM является медианой треугольника ABC, а серединой медианы является точка, делящая ее на две равные части. Таким образом, AM равно половине длины стороны BC, то есть AM = BC/2.

b) Так как точка O является точкой пересечения отрезков BD и AM, то она делит их пополам. Значит, BO равно половине длины отрезка BD, то есть BO = BD/2.

c) Так как точка P является серединой отрезка CD параллелограмма ABCD, то длина отрезка OD равна половине длины отрезка CD, то есть OD = CD/2. Возьмем во внимание выражение AM = BC/2 из предыдущего вопроса. Так как отрезок BC является диагональю параллелограмма ABCD, он делит его на два равных треугольника. Следовательно, отрезок AM делит отрезок BC на две равные части, и точка М является серединой этого отрезка. Тогда отрезок AP также делит отрезок BC на две равные части и AP = BC/2. Таким образом, OD = CD/2 = AP.

г) Для того чтобы доказать неравенство OP < (2/3)AD + (1/6)AB, нам нужно представить OP и AD через известные нам величины и воспользоваться свойствами параллелограмма ABCD и треугольника ABC. Применим теорему Менелая для треугольника ABD и прямой, проходящей через точку O: AO/OD * DM/MB * BO/OA = 1

Так как OD = AP, имеем AO/AP = AO/OD = 1. Также DM/MB = 1, так как точка М является серединой стороны ВС параллелограмма ABCD. Воспользуемся теоремой о медиане треугольника ABC для отрезка BO: BO/OA = 2/1.

Подставив полученные значения, получаем: AO/AP * DM/MB * BO/OA = (1) * (1) * (2/1) = 2

Так как AO/AP = DM/MB = BO/OA = 1, получаем 1 * 1 * 2 = 2. Следовательно, получаем OP = AD/2.

Так как AD = AB, имеем OP = (1/2)AD = (2/4)AD = (1/2)AD + (1/4)AD = (2/3)AD + (1/6)AB.

Таким образом, доказано неравенство OP < (2/3)AD + (1/6)AB.