Question

доказать, что расстояние точки окружности от хорды круга есть среднее пропорциональное между расстоянием концов хорды от касательной и окружности в данной точке

Answer 1

////////////////////////////////////////////////////////

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, нам понадобится использовать две теоремы из геометрии:

1. Теорема о касательной и хорде: Когда угол между касательной и хордой равен α, а длина хорды равна 2d, то расстояние от центра круга до хорды равно d*cos(α/2).

2. Теорема о секущей и хорде: Когда угол между секущей и хордой равен β, а длина хорды равна 2d, то расстояние от центра круга до хорды равно d/cos(β/2).

Для начала рассмотрим ситуацию, где данная точка лежит на хорде круга, а не на касательной. Пусть P - это данная точка на окружности, AB - хорда, и M - центр круга. Проведем касательную к окружности в точке P и обозначим точку касания как T.

По первой теореме: Расстояние от P до AB = d*cos(α/2), где d - расстояние от M до AB.

По второй теореме: Расстояние от P до касательной = d/cos(β/2), где d - расстояние от M до AB.

Теперь рассмотрим случай, когда данная точка P лежит на касательной к окружности. В этом случае хорду AB можно рассматривать как секущую.

Таким образом, мы получили два утверждения:

1. Расстояние от P до AB = d*cos(α/2).
2. Расстояние от P до касательной = d/cos(β/2).

Теперь заметим, что d*cos(α/2) * d/cos(β/2) = d^2, то есть произведение этих двух расстояний равно квадрату расстояния от центра круга до хорды.

Теперь предположим, что данная точка P не лежит ни на хорде, ни на касательной, а вне круга. В этом случае, продлим хорду AB до пересечения с линией, проходящей через M и P, и обозначим точку пересечения как C. Получим следующий рисунок:

cssCopy code
                C
              / | \
            /   |   \
          /     |     \
        /   α   |   β   \
      /_________|_________\
      A    d   M   d    B
             |         |
             |         |
             |    P    |
             |         |

Таким образом, ситуация сводится к предыдущему рассмотренному случаю, и можно заметить, что расстояние от точки P до хорды AB остается таким же, как в предыдущих случаях.

Таким образом, мы доказали, что расстояние от точки окружности до хорды круга есть среднее пропорциональное между расстоянием концов хорды до касательной и расстоянием от окружности до данной точки на хорде.