Question

В арифметичній прогресії перший член дорівнює -18, а сума двадцяти чотирьох перших членів дорівнює 672. Знайдіть різницю і дев'ятнадцятий член прогресії.

Answer 1

Решение .

Арифметическая прогрессия ,  $\bf a_1=-18\ ,\ \ S_{24}=672$  .

Найти  $\bf d\ ,\ a_{19}$   .

 Применим формулу суммы первых n-членов арифм. прогрессии .

$\bf S_{24}=\dfrac{a_1+a_{24}}{2}\cdot 24\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 672=12\, (-18+a_{24})\ \ ,\ \ a_{24}-18=56\ ,\\\\a_{24}=74$

Применим формулу n-го члена арифм. прогрессии .  

$\bf a_{24}=a_1+23\, d\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 74=-18+23\, d\ \ ,\ \ 23\, d=92\ \ ,\ \ \boxed{\ \bf d=4\ }\\\\a_{19}=a_1+18\, d\ \ \ \Rightarrow \ \ \ a_{19}=-18+18\cdot 4=54\ \ ,\ \ \boxed{\bf \ a_{19}=54\ }$      

Answer 2

Давайте спершу знайдемо загальний вираз для суми перших n членів арифметичної прогресії. Формула для суми перших n членів арифметичної прогресії зазвичай записується як:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n), \]

де \(S_n\) - сума перших n членів, \(a_1\) - перший член прогресії, \(a_n\) - n-ий член прогресії.

За даними у вашій задачі, \(a_1 = -18\) та \(S_{24} = 672\). Ми також знаємо, що в нашій прогресії є 24 члени.

Використовуючи ці значення, ми можемо записати рівняння:

\[ 672 = \frac{24}{2} \cdot (-18 + a_{24}). \]

Розрахунок:

\[ 672 = 12 \cdot (-18 + a_{24}), \] \[ 672 = -216 + 12a_{24}, \] \[ 12a_{24} = 672 + 216, \] \[ 12a_{24} = 888. \]

Отже, ми знаходимо \(a_{24}\):

\[ a_{24} = \frac{888}{12}, \] \[ a_{24} = 74. \]

Тепер, ми можемо знайти загальний член арифметичної прогресії (загальний вираз), використовуючи формулу:

\[ a_n = a_1 + (n-1)d, \]

де \(d\) - різниця арифметичної прогресії.

Ми вже знаємо \(a_1 = -18\) та \(a_{24} = 74\). Таким чином, ми можемо записати:

\[ a_{24} = -18 + (24-1)d, \] \[ 74 = -18 + 23d. \]

Розрахунок:

\[ 74 + 18 = 23d, \] \[ 92 = 23d, \] \[ d = \frac{92}{23}, \] \[ d = 4. \]

Тепер, ми можемо знайти дев'ятнадцятий член арифметичної прогресії:

\[ a_{19} = -18 + (19-1) \times 4, \] \[ a_{19} = -18 + 18 \times 4, \] \[ a_{19} = -18 + 72, \] \[ a_{19} = 54. \]

Таким чином, різниця арифметичної прогресії дорівнює 4, а дев'ятнадцятий член прогресії дорівнює 54.