Question

Решить задачу: Усечённый конус, у которого радиусы оснований 4 см и 20 см, и равновеликий цилиндр имеют одну и ту же высоту. Чему равен радиус основания этого цилиндра. ​

Answer 1

Ответ:
16см

Обозначим высоту усечённого конуса и цилиндра через $h$. Пусть радиус основания цилиндра равен $r$. Тогда объём усечённого конуса равен:

$V = \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot h\cdot(4^2 + 4\cdot20 + 20^2) = \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot h\cdot(576).$

Объём цилиндра равен:

$V = \pi\cdot r^2\cdot h.$

Так как объёмы усечённого конуса и цилиндра равны, то можно приравнять соответствующие выражения:
$\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot h\cdot(576) = \pi\cdot r^2\cdot h.$

Сокращаем h и делим обе части уравнения на $\pi$
$\frac{1}{3}\cdot(576) = r^2.$

Решаем это уравнение относительно r
$r = /sqrt{\frac{576}{3}} = \boxed{16}.$

Таким образом, радиус основания цилиндра равен 16 см.

Answer 2

Для решения задачи нужно использовать формулу объема усеченного конуса:

V = (1/3) * π * h * (R^2 + r^2 + R*r)

где V - объем усеченного конуса, h - высота усеченного конуса, R - радиус большего основания, r - радиус меньшего основания.

Также задача говорит, что равновеликий цилиндр имеет ту же высоту, что и усеченный конус. Объем цилиндра можно выразить формулой:

V = π * h * R^2

Так как объемы усеченного конуса и цилиндра равны, мы можем приравнять эти формулы:

(1/3) * π * h * (R^2 + r^2 + R*r) = π * h * R^2

Упрощаем уравнение:

(1/3) * (R^2 + r^2 + R*r) = R^2

Раскрываем скобки:

(1/3) * R^2 + (1/3) * r^2 + (1/3) * R*r = R^2

Переносим все слагаемые с R^2 на одну сторону:

(1/3) * R^2 - R^2 = -(1/3) * r^2 - (1/3) * R*r

Общий знаменатель:

(1/3) * R^2 - (3/3) * R^2 = -(1/3) * r^2 - (1/3) * R*r

(-2/3) * R^2 = -(1/3) * r^2 - (1/3) * R*r

Домножаем уравнение на -3:

2 * R^2 = r^2 + R*r

Так как радиусы оснований усеченного конуса равны 4 см и 20 см, можем записать:

R = 20 см r = 4 см

Подставляем значения в уравнение:

2 * (20^2) = (4^2) + 20*r

400 = 16 + 20*r

384 = 20*r

r = 384 / 20

r = 19.2 см

Таким образом, радиус основания равновеликого цилиндра равен 19.2 см.