Question

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AC=2корня2, AA1=1. Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда, имеющий наибольший объем!

Answer 1

наибольший объем будет,когда в основании лежит квадрат.
по свойству диагонали квадрата сторона равна 2.
тогда S=1*2*4=8 

Answer 2

Для нахождения параллелепипеда с наибольшим объемом из тех, которые можно вписать в прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 с заданными размерами, нужно вспомнить, что объем параллелепипеда равен произведению его трех ребер:

Объем параллелепипеда = Длина × Ширина × Высота

Для нашей задачи, пусть длина этого внутреннего параллелепипеда будет x, ширина - y, а высота - z.

Поскольку AC = 2√2 и AA1 = 1, то длина внутреннего параллелепипеда x = 2√2 - 1. Это также равно расстоянию между точками A и A1 внутри параллелепипеда.

Чтобы максимизировать объем этого внутреннего параллелепипеда, нужно найти значения y и z, которые максимизируют выражение x * y * z.

Заметим, что y и z не могут быть больше, чем BC и B1C1 (ширина и высота внешнего параллелепипеда), чтобы помещаться внутри. Таким образом, y и z не могут быть больше 2√2.

Теперь у нас есть задача максимизировать x * y * z при ограничениях:

x = 2√2 - 1 0 < y ≤ 2√2 0 < z ≤ 2√2

Это задача на нахождение максимума функции f(y, z) = (2√2 - 1) * y * z при ограничениях 0 < y ≤ 2√2 и 0 < z ≤ 2√2.

Мы можем использовать метод множителей Лагранжа для решения этой задачи. Пусть L(y, z, λ) будет функцией Лагранжа:

L(y, z, λ) = (2√2 - 1) * y * z + λ(2√2 - y) + λ(2√2 - z)

Теперь мы найдем частные производные функции L по y, z и λ и приравняем их к нулю:

∂L/∂y = (2√2 - 1) * z - 2√2λ = 0 ∂L/∂z = (2√2 - 1) * y - 2√2λ = 0 ∂L/∂λ = 2√2 - y - z = 0

Решая эту систему уравнений, мы можем найти значения y, z и λ, которые максимизируют объем внутреннего параллелепипеда.

Из первых двух уравнений получаем:

(2√2 - 1) * z = 2√2λ (2√2 - 1) * y = 2√2λ

Разделим первое уравнение на второе:

z/y = 1

Из третьего уравнения:

2√2 - y - z = 0 2√2 - 2z = 0 z = √2

Теперь мы знаем, что z = √2 и y = z = √2. Теперь мы можем найти значение x:

x = 2√2 - 1

Теперь у нас есть значения x, y и z, которые максимизируют объем внутреннего параллелепипеда. Теперь мы можем найти объем:

Объем внутреннего параллелепипеда = x * y * z = (2√2 - 1) * √2 * √2 = (2√2 - 1) * 2 = 4√2 - 2

Теперь, чтобы найти площадь боковой поверхности внутреннего параллелепипеда, мы можем использовать формулу:

Площадь боковой поверхности = 2 * (Длина * Высота + Ширина * Высота + Длина * Ширина)

Подставляем значения:

Площадь боковой поверхности = 2 * ((2√2 - 1) * √2 + √2 * √2 + (2√2 - 1) * √2)

Площадь боковой поверхности = 2 * (4√2 - √2 + 2 - √2 + 4√2 - √2)

Площадь боковой поверхности = 2 * (8√2 - 2√2 + 2 - 2√2)

Площадь боковой поверхности = 2 * (6√2 - 2√2 + 2)

Площадь боковой поверхности = 2 * 6√2 = 12√2

Таким образом, площадь боковой поверхности внутреннего параллелепипеда, имеющего наибольший объем, составляет 12√2.