Question

Биссектрисы тупых углов при основании трапеции пересекаются на другом ее основании.Докажите,что сумма боковых сторон трапеции равна большему основанию.

Answer 1

пусть дана трапеция АВСД с большим основанием АД. Тогда биссетрисы тупых углов В и С будут пересекаться в точке Е и точка Е будет принадлежать основанию АД. По определению трапеции: ВС параллельно АД, поэтому угол ЕВС равен углу ВЕА как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АД и секущей ВЕ. Аналогично доказывается равенство углов ВСЕ и СЕД.

Рассмотрим треугольник АВЕ. Угол АВЕ = углу ВЕА (ВЕ - биссектриса) ⇒ треугольник АВЕ - равнобедренный ⇒ АВ = АЕ, аналогично находим, что треугольник СЕД - равнобедренный и СД = ЕД

Рассмотрим сумму АВ + СД = АЕ + ЕД = АД, что и требовалось доказать

Answer 2

Для начала, обозначим основание трапеции, на котором пересекаются биссектрисы, как AC, а другое основание - BD (где A и D - точки, находящиеся на одной прямой с вершинами трапеции, и AC || BD). Пусть боковые стороны трапеции равны AB и CD. Так как биссектрисы тупых углов трапеции пересекаются на другом ее основании, то точка пересечения биссектрис является точкой пересечения диагоналей; пусть эта точка называется O. Так как O является точкой пересечения диагоналей трапеции, то O делит диагонали пополам. Обозначим точки пересечения O с AC и BD как M и N соответственно. То есть, AM = MC и BN = ND. Также известно, что биссектрисы разделяют основание трапеции AC на отрезки, пропорциональные боковым сторонам AB и CD. Обозначим соответствующие отрезки как x и y. Из этих двух фактов, следует, что AM/MC = AB/CD = x/y (1) BN/ND = AB/CD = x/y (2) Так как BN = AB и ND = CD (так как BN и ND - боковые стороны трапеции), то из (2) следует, что AB/CD = x/y. Таким образом, сочетая (1) и (2), получаем, что AM/MC = AB/CD = x/y. Учитывая, что AM = MC и BN = ND, мы можем записать, что BN/ND = AM/MC. Так как AM/MC = BN/ND, и AM + MC = AC, BN + ND = BD, то сумма боковых сторон трапеции равна сумме оснований: AB + CD = AC + BD Таким образом, доказано, что сумма боковых сторон трапеции равна большему основанию.