Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной графиком y=(x-1)^2 прямыми y=0 x=1 x=3

Answer 1

S=∫(x^2-2x+1)dx=x^3/3-x^2+x
подстановка по х от 1 до 3
=9-9+3-(1/3-1+1)=3-1/3=2 2/3

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции y = (x - 1)^2 и прямыми y = 0, x = 1 и x = 3, нужно разбить эту фигуру на две части: одну слева от вертикальной линии x = 1 и другую между вертикальными линиями x = 1 и x = 3.

1. Левая часть: Функция y = (x - 1)^2 не пересекает ось x до точки x = 1, и y всегда неотрицательно, поэтому площадь этой части фигуры равна интегралу от 0 до 1 функции (x - 1)^2:

$S_1 = \int_0^1 (x - 1)^2 dx$

Для вычисления этого интеграла:

$S_1 = \left[\frac{1}{3}(x - 1)^3\right]_0^1$ $S_1 = \frac{1}{3}(1 - 1)^3 - \frac{1}{3}(0 - 1)^3$ $S_1 = \frac{1}{3}(0 - (-1/3))$ $S_1 = \frac{1}{3}(1/3)$ $S_1 = \frac{1}{9}$

2. Правая часть: На этой части фигуры функция y = (x - 1)^2 находится между x = 1 и x = 3 и выше оси x (y положительно). Площадь этой части фигуры равна интегралу от 1 до 3 функции (x - 1)^2:

$S_2 = \int_1^3 (x - 1)^2 dx$

$S_2 = \left[\frac{1}{3}(x - 1)^3\right]_1^3$ $S_2 = \frac{1}{3}(3 - 1)^3 - \frac{1}{3}(1 - 1)^3$ $S_2 = \frac{1}{3}(2^3 - 0)$ $S_2 = \frac{8}{3}$

Теперь, чтобы найти общую площадь фигуры, сложим площади обеих частей:

$S_{\text{общая}} = S_1 + S_2$ $S_{\text{общая}} = \frac{1}{9} + \frac{8}{3}$ $S_{\text{общая}} = \frac{1}{9} + \frac{24}{9}$ $S_{\text{общая}} = \frac{25}{9}$

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = (x - 1)^2 и прямыми y = 0, x = 1 и x = 3, равна 25/9 квадратных единиц.