Question

В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если большее основание равно 40 корней из 3 (м), а один из углов трапеции равен 60 градусов.​

Answer 1

Ответ:

Площадь трапеции равна 900√3 м²

Объяснение:

Дано:

ABCD - трапеция

АС - диагональ трапеции

AB = CD - боковые стороны

АС ⊥ CD

AD = 40√3 м - большее основание

∠A = ∠D = 60°

Найти:

S - площадь трапеции

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD, гипотенуза которого AD = 40√3 м и ∠D = 60°.

Катеты АС и CD этого треугольника равны

АC = AD · sin 60° = 40√3 · 0.5√3 = 60 (м)

CD = AD · cos 60° = 40√3 · 0.5 = 20√3 (м)

Поскольку трапеция равнобедренная, то

АВ = CD = 20√3 м.

Из вершины С прямого угла треугольника ACD опустим на гипотенузу AD  высоту CK, которая одновременно является и высотой трапеции

$CK = \dfrac{AC\cdot CD}{AD} = \dfrac{60\cdot 20\sqrt{3} }{40\sqrt{3} } = 30~(m)$

В треугольнике ACD

∠CAD = 90° - ∠D = 90° - 60° = 30°

Основания трапеции ВС ║ АD

∠ACB =  ∠CAD = 30° (внутренние накрест лежащие углы при ВС ║ АD и секущей АС).

Рассмотрим ΔАВС.

∠ВАС = ∠BАD - ∠CAD = 60° - 30° = 30°

Поскольку в ΔАВС   углы  ∠ВАС = ∠ACB = 30°, то ΔАВС - равнобедренный, то есть ВС = АВ = 20√3 м.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

 $S = \dfrac{BC + AD}{2}\cdot CK = \dfrac{20\sqrt{3} + 40\sqrt{3} }{2}\cdot 30 = 900\sqrt{3} ~(m^2)$

Answer 2

Для нахождения площади равнобедренной трапеции, где диагональ перпендикулярна боковой стороне и один из углов трапеции равен 60 градусов, мы можем использовать следующие шаги:

1. Разобъем трапецию на два равнобедренных треугольника, проведя высоту из вершины с углом 60 градусов к нижнему основанию. Это разделит трапецию на два равнобедренных треугольника и прямоугольный треугольник.

2. Поскольку один из углов равен 60 градусов, то другой угол тоже равен 60 градусов, так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусов.

3. Теперь мы видим, что у нас есть два равнобедренных треугольника со всеми углами по 60 градусов.

4. Длина большего основания трапеции равна 40 корням из 3 (м).

5. Разделим большее основание пополам, чтобы найти длину меньшего основания каждого треугольника. Таким образом, длина меньшего основания равна 20 корням из 3 (м).

6. Теперь мы можем найти высоту треугольника, используя тригонометрические соотношения для треугольника с углом 60 градусов. Высота равна (минус) основание умноженное на тангенс угла 60 градусов.

   Высота = (20 корней из 3) * tan(60 градусов) = (20 корней из 3) * √3 = 20 * 3 = 60 м.

7. Теперь мы знаем длину основания и высоту обоих треугольников, поэтому можем найти площадь каждого из них и затем сложить их.

   Площадь треугольника = 0.5 * основание * высота Площадь одного треугольника = 0.5 * (20 корней из 3) * 60 = 600 корней из 3 м².

8. Так как у нас есть два равнобедренных треугольника, общая площадь этих двух треугольников равна:

   Общая площадь равнобедренных треугольников = 2 * (600 корней из 3) м² = 1200 корней из 3 м².

Итак, площадь равнобедренной трапеции равна 1200 корням из 3 квадратных метров.