Question

24. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке М. Докажите, что площадь треугольника CMD в четыре раза меньше площади параллелограмма ABCD.

Answer 1

Ответ:

В параллелограмме АВСD треугольники АВС и АСD равны по трем сторонам (АВ=СD и ВС=АD как стороны параллелограмма, а сторона АС - общая). Итак, Sabc=Sacd.

В треугольниках АВС и АСD ВМ и DМ - медианы (так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам и АМ=МС).

Но медианы делят треугольники на два равновеликих. Значит, Samb=Smbc=Samd=Scmd (так как равные треугольники АВС и АСD делятся также на два равных).

Итак, площадь параллелограмма АВСD равна четырем площадям треугольника АМВ. Или, что одно и то же, площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AMB.  Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойствами параллелограмма и свойствами треугольников.

Пусть ABCD - параллелограмм, а AC и BD - его диагонали, пересекающиеся в точке M. Площадь параллелограмма ABCD обозначим как S_ABCD, а площадь треугольника CMD как S_CMD.

Заметим, что параллелограмм ABCD делится диагоналями AC и BD на четыре треугольника: AMC, MCB, BMD и AMD.

S_ABCD = S_AMC + S_MCB + S_BMD + S_AMD

Теперь рассмотрим треугольник CMD. Он образуется половиной диагонали BD и высотой, проведенной из точки M на эту диагональ. Высота MD - это одна из боковых сторон треугольника MBD, и она равна половине высоты параллелограмма ABCD (поскольку M - это середина диагонали BD). Таким образом:

S_CMD = (1/2) * BD * MD

Теперь сравним площади треугольника CMD и параллелограмма ABCD:

S_CMD = (1/2) * BD * MD S_ABCD = S_AMC + S_MCB + S_BMD + S_AMD

Так как MCB и BMD - это два треугольника, каждый из которых имеет половину высоты параллелограмма ABCD и соответствующую сторону (BC и BM, BD и MD), то:

S_MCB + S_BMD = (1/2) * BD * MD

Также, так как треугольники AMC и AMD имеют общую высоту и равные основания (AC и CD), то:

S_AMC = S_AMD

Теперь мы можем объединить все эти выражения:

S_CMD = (1/2) * BD * MD S_MCB + S_BMD = (1/2) * BD * MD S_AMC = S_AMD

Теперь давайте объединим все эти выражения и рассмотрим их вместе:

S_CMD = (1/2) * BD * MD S_MCB + S_BMD = (1/2) * BD * MD S_AMC = S_AMD

S_CMD = (1/2) * BD * MD S_MCB + S_BMD = S_CMD S_AMC = S_AMD

Теперь видно, что площадь треугольника CMD (S_CMD) равна половине суммы площадей треугольников MCB и BMD (S_MCB + S_BMD) и также равна площади треугольника AMC (S_AMC) и треугольника AMD (S_AMD).

Из этого следует, что площадь треугольника CMD в четыре раза меньше площади параллелограмма ABCD, так как сумма площадей треугольников MCB и BMD равна половине площади параллелограмма ABCD, и треугольники AMC и AMD равны по площади:

S_CMD = (1/2) * S_ABCD S_CMD = (1/2) * (S_MCB + S_BMD) S_CMD = (1/2) * (1/2) * S_ABCD S_CMD = (1/4) * S_ABCD

Таким образом, S_CMD = (1/4) * S_ABCD, что и означает, что площадь треугольника CMD в четыре раза меньше площади параллелограмма ABCD.