Question

Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите длину образующей, если объём конуса равен 216п (п - пи, которое 3,14....)

Answer 1

Ответ:

$V = \frac{1}{3} \pi {r}^{2} h$

выразим высоту через радиус:

$tg30^{\circ} = \frac{h}{r} \\ h = \frac{ \sqrt{3} }{3} r$

подставим высоту в формулу объёма и найдем радиус

$\frac{1}{3} \times \pi {r}^{2} \times \frac{ \sqrt{3} }{3} r = 216\pi \\ {r}^{3} = 216 \times \frac{9}{ \sqrt{3} } \\ {r}^{3} = 261 \times 3\sqrt{3} \\ r = \sqrt[3]{216 \times 3 \sqrt{3} } = \\ = \sqrt[3]{ {6}^{3} \times {( \sqrt{3}) }^{3} } = 6 \sqrt{3}$

Найдем образующую:

$\cos(30^{\circ}) = \frac{r}{l} \\ l = \frac{r}{ \cos(30^{\circ}) } = 6 \sqrt{3} \times \frac{2}{ \sqrt{3} } = 12$

Ответ: 12 см

Answer 2

Для нахождения длины образующей конуса можно воспользоваться формулой для объема конуса и знанием угла наклона образующей к плоскости основания. Формула объема конуса выглядит следующим образом:

V = (1/3) * π * r^2 * h,

где V - объем конуса, π - число пи (приближенно равно 3.14), r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

Образующая конуса (l) связана с радиусом (r) и высотой (h) следующим образом:

l = √(r^2 + h^2).

Известно, что объем конуса (V) равен 216π. Подставим это значение в формулу объема и упростим:

216π = (1/3) * π * r^2 * h.

Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дроби:

3 * 216π = π * r^2 * h.

648π = π * r^2 * h.

Теперь давайте выразим высоту (h) через известные значения:

h = (648π) / (π * r^2).

Заметим, что π сокращается в числителе и знаменателе:

h = 648 / r^2.

Теперь мы знаем высоту конуса в зависимости от радиуса основания. Мы также знаем, что образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30°, что означает, что:

tan(30°) = h / r.

tan(30°) равен √3/3. Подставим это значение и наше выражение для h:

√3/3 = (648 / r^2) / r.

Упростим правую часть:

√3/3 = 648 / r^3.

Теперь изолируем r:

r^3 = 648 / (√3/3).

r^3 = (648 * 3) / √3.

r^3 = 1944√3.

Теперь извлечем кубический корень:

r = ∛(1944√3).

r ≈ 12∛3.

Теперь, когда у нас есть радиус (r), мы можем найти высоту (h) снова, используя наше предыдущее уравнение:

h = 648 / r^2.

h = 648 / (12∛3)^2.

h = 648 / (144 * 3).

h = 648 / 432.

h = 3/2.

Теперь, когда у нас есть радиус (r) и высота (h), мы можем найти длину образующей (l):

l = √(r^2 + h^2).

l = √((12∛3)^2 + (3/2)^2).

l = √(144 * 3 + 9/4).

l = √(432 + 9/4).

l = √((1728 + 9)/4).

l = √(1737/4).

l ≈ √(434.25).

l ≈ 20.83 (приближенно, округлено до двух десятичных знаков).

Таким образом, длина образующей конуса равна приближенно 20.83 единицы длины.