Question

Сформулируйте теорему о свойстве касательной. Сформулируйте теорему, обратную теореме о свойстве касательной. Сформулируйте определения центрального угла окружности и угла, вписанного в окружность. Сформулируйте и докажите теорему об измерении вписанного угла. помогите, пж ;-;

Answer 1

Ответ:

Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности и перпендикулярна к этому радиусу, то эта прямая — касательная. Доказательство. Вот наша окружность, вот радиус, вот конец радиуса, и вот прямая, проходящая через конец радиуса и перпендикулярная радиусу.если прямая перпендикулярна радиусу и проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, то она является касательной к окружности.

Дано: ω (О; ОА), прямая а, а⊥ОА, А∈а.

Доказать: а - касательная к окружности.

Доказательство:

Радиус перпендикулярен прямой а. Перпендикуляр - это кратчайшее расстояние от центра окружности до прямой. Значит, расстояние от центра до любой другой точки прямой будет больше, чем до точки А, и значит все остальные точки прямой лежат вне окружности.

Итак, прямая а и окружность имеют только одну общую точку А. Значит, прямая а - касательная к окружности.Центральный и вписанный угол Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности. Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.Объяснение: Теорема о вписанном угле: Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, и дополняет до 180° половину центрального угла, опирающегося на дополнительную дугу. В любом случае вписанный угол равен половине угловой меры дуги, на которую он опирается.

Answer 2

Конечно, давайте начнем с формулировки теоремы о свойстве касательной:

Теорема о свойстве касательной: Если извне к точке окружности провести касательную, то она будет перпендикулярной к радиусу, проведенному в точке касания.

Теорема, обратная теореме о свойстве касательной: Если из точки вне окружности провести перпендикуляр к радиусу, проведенному в точке касания, то этот перпендикуляр будет касательной к окружности.

Теперь определения центрального угла окружности и угла, вписанного в окружность:

• Центральный угол окружности: Это угол, вершина которого находится в центре окружности, а стороны этого угла проходят через две точки на окружности.

• Угол, вписанный в окружность: Это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны этого угла также проходят через две точки на окружности.

Теперь сформулируем и докажем теорему об измерении вписанного угла:

Теорема об измерении вписанного угла: Угол, вписанный в окружность, равен половине центрального угла, соответствующего этому углу.

Доказательство: Пусть у нас есть окружность с центром в точке O и двумя точками A и B, через которые проходит угол, вписанный в эту окружность. Пусть также существует центральный угол, соответствующий этому углу, и пусть он измеряется α.

1. Проведем два радиуса OA и OB, и проведем касательные к окружности в точках A и B. По теореме о свойстве касательной, эти касательные будут перпендикулярными к радиусам и проходить через точки A и B.

2. Поскольку OA и OB - радиусы окружности, они равны, и у нас есть два треугольника OAB и OBA с равными гипотенузами (OA = OB) и общими катетами (AB), поскольку они лежат на одной касательной.

3. Следовательно, треугольники OAB и OBA равны по стороне-гипотенузе-стороне (ГГС).

4. По свойству равных треугольников, угол OAB равен углу OBA, и каждый из них равен α/2.

Таким образом, угол, вписанный в окружность (угол AOB), равен половине соответствующего ему центрального угла (α/2).

Это доказывает теорему об измерении вписанного угла.