Question

Доведіть що ABCD прямокутникА(-4,-1) В(-1,2) С(3,-2) Д(0,-5)​

Answer 1

Расстояние между точками $M(x_1;\ y_1)$ и $N(x_2;\ y_2)$, то есть длина отрезка MN, определяется по формуле:

$MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Найдем длины всех его сторон:

$AB=\sqrt{(-1-(-4))^2+(2-(-1))^2} =\sqrt{3^2+3^2} =\sqrt{18}$$BC=\sqrt{(3-(-1))^2+(-2-2)^2} =\sqrt{4^2+(-4)^2} =\sqrt{32}$

$CD=\sqrt{(0-3)^2+(-5-(-2))^2} =\sqrt{(-3)^2+(-3)^2} =\sqrt{18}$

$AD=\sqrt{(0-(-4))^2+(-5-(-1))^2} =\sqrt{4^2+(-4)^2} =\sqrt{32}$

Как видно, AB=CD и BC=AD, то есть попарно противоположные стороны четырехугольника равны. Значит, этот четырехугольник - параллелограмм.

Теперь найдем длины диагоналей:

$AC=\sqrt{(3-(-4))^2+(-2-(-1))^2} =\sqrt{7^2+(-1)^2} =\sqrt{50}$

$BD=\sqrt{(0-(-1))^2+(-5-2)^2} =\sqrt{1^2+(-7)^2} =\sqrt{50}$

AС=ВD, то есть диагонали параллелограмма равны. Значит, этот параллелограмм - прямоугольник. Доказано.

Answer 2

Щоб довести, що ABCD - прямокутник, нам потрібно перевірити чотири умови:

1. Довжини протилежних сторін повинні бути рівні.
2. Протилежні сторони повинні бути паралельні.
3. Протилежні кути повинні бути прямими кутами.
4. Діагоналі повинні мати однакову довжину.

Спочатку знайдемо довжини сторін та кути прямокутника ABCD:

1. Довжини сторін:

AB = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] = √[(-1 - (-4))² + (2 - (-1))²] = √[3² + 3²] = √(18) = 3√2

BC = √[(x₃ - x₂)² + (y₃ - y₂)²] = √[(3 - (-1))² + (-2 - 2)²] = √[4² + 4²] = √(32) = 4√2

CD = √[(x₄ - x₃)² + (y₄ - y₃)²] = √[(0 - 3)² + (-5 - (-2))²] = √[3² + 3²] = √(18) = 3√2

DA = √[(x₁ - x₄)² + (y₁ - y₄)²] = √[(-4 - 0)² + (-1 - (-5))²] = √[4² + 4²] = √(32) = 4√2

2. Протилежні сторони:

AB || CD, BC || DA

3. Протилежні кути:

Кут ABC = Кут BCD = Кут CDA = Кут DAB = 90 градусів (прямий кут).

4. Діагоналі:

Діагональ AC: AC = √[(x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)²] = √[(3 - (-4))² + (-2 - (-1))²] = √[7² + 1²] = √50

Діагональ BD: BD = √[(x₂ - x₄)² + (y₂ - y₄)²] = √[(-1 - 0)² + (2 - (-5))²] = √[1² + 7²] = √50

Оскільки AC = BD = √50, то діагоналі мають однакову довжину.

Отже, ми довели, що ABCD є прямокутником, оскільки всі чотири умови для прямокутника виконуються.