Question

В прямоугольник ABCD, в которой AB=3 см, AD=4 см. Пусть A'B'C'D' - образ данного прямоугольника при осевой симметрии относительно прямой AC; A"B"C"D" - образ данного прямоугольника при параллельном переносе на вектор CA. Найдите: a)S(ABCD A'B'C'D'); б) D'D"?

Answer 1

a)Направим ось Х по стороне AD ,  ось У - по стороне АВ.

Тогда координаты вершин: А(0;0), В(0; 3), С(4; 3), D(4; 0).

При отображении относительно АС, точки А и С останутся на месте, а точки в и D отобразятся в точки B' и D'.Фигура и ее площадь при осевой симметрии не изменились, изменилась только ориентация прямоугольника.Пусть К - точка пересечения AD' и BC, М - точка пересечения AD и CB'.

Тогда искомая площадь пересечения областей ABCD и AB'CD' - параллелограмм AKCM.

S(AKCM) = 3*4 - 2S(CKD').

Найдем координаты точки D'.

Уравнение прямой АС:  У = 3х/4

Тогда уравнение прямой DD' (перпендикулярной к АС) имеет вид:

у = -4х/3  + b. эта прямая проходит через точку D(4; 0). Найдем b:

0 = -16/3  +b     b = 16/3    у = -4х/3 + 16/3

Ищем пересечение прямых АС и DD':

3х/4 = -4х/3 + 16/3   х = 64/25, у = 48/25

Эта точка - середина отрезка DD'.

64/25 = (х+4)/2,    48/25 = (0+у)/2

х = 28/25; у = 96/25    D' (28/25; 96/25)

Найдем уравнение прямой AD':

96/25 = 28к/25    к = 96/28 = 24/7    AD': у = 24х/7

Найдем координаты т. К - пересечения у=3  и  у = 24х/7

х = 7/8, у = 3

Тогда длина отрезка КС = 4 - 7/8 = 25/8 - основание тр-ка KD'C.

Высота этого тр-ка: h = (96/25) - 3 = 21/25

Искомая площадь:

S = 12 - 2*(KC*h/2) = 12 - 21/8 = 75/8

Ответ: 75/8 см^2.

б)При параллельном переносе на вектор СА (-4; -3) точка D (4; 0) перейдет в точку D" (0; -3). Из п.а) координаты D'-  (28/25; 96/25)

Тогда расстояние D'D" = кор( (28/25)^2 + (3 + 96/25)^2) = (кор1201) /5 (примерно 6,93 см)

Ответ: (Кор1201)/5 (примерно 6,93 см).

Answer 2

Для решения этой задачи давайте начнем с поиска образов прямоугольника ABCD при данных преобразованиях:

a) A'B'C'D' - образ прямоугольника ABCD при осевой симметрии относительно прямой AC.

1. Найдем середину отрезка AC, которая будет точкой симметрии. Середина AC будет равна половине длины AC и равна 2.5 см.

2. Теперь мы можем построить образ точек A, B, C и D при отражении относительно прямой AC.

   • A' будет находиться на той же высоте относительно AC, что и A, но симметрично ей относительно середины AC. Таким образом, A' находится на расстоянии 2.5 см от AC (половина отрезка AB) и находится на расстоянии 4 см от точки A (половина отрезка AD). Таким образом, координаты точки A' равны (4 - 2.5, 0) = (1.5 см, 0).

   • B' будет иметь те же координаты, что и B, так как они уже симметричны относительно AC.

   • C' будет иметь те же координаты, что и C, так как они уже симметричны относительно AC.

   • D' будет находиться на той же высоте относительно AC, что и D, но симметрично ей относительно середины AC. Таким образом, D' находится на расстоянии 2.5 см от AC (половина отрезка DC) и находится на расстоянии 4 см от точки D (половина отрезка DA). Таким образом, координаты точки D' равны (4 - 2.5, 0) = (1.5 см, 0).

Теперь у нас есть координаты всех вершин прямоугольника A'B'C'D'. Давайте найдем его площадь.

Площадь прямоугольника ABCD равна AB * AD = 3 см * 4 см = 12 см².

Площадь прямоугольника A'B'C'D' также будет равна AB * AD, так как он подобен прямоугольнику ABCD и имеет ту же площадь. Таким образом, S(A'B'C'D') = 12 см².

b) D'D" - расстояние между точками D' и D" после параллельного переноса.

Точка D" - это образ точки D после параллельного переноса на вектор CA. Для нахождения D" нужно сдвинуть D на вектор CA.

Вектор CA соединяет точку C и точку A. Его координаты можно найти как разницу координат точек C и A:

CA = (4 см - 0 см, 0 см - 0 см) = (4 см, 0 см).

Теперь мы можем найти координаты точки D" как сумму координат точки D и вектора CA:

D" = D + CA = (4 см, 0 см) + (4 см, 0 см) = (8 см, 0 см).

Теперь у нас есть координаты точек D' и D". Давайте найдем расстояние между ними.

D'D" = |D" - D'| = |(8 см, 0 см) - (1.5 см, 0 см)| = |(6.5 см, 0 см)| = 6.5 см.

Итак, расстояние между точками D' и D" равно 6.5 см.