Question

В ∆ABC высота AH равна медиане BM. Может ли ∆ABC быть неравносторонниим?

Answer 1

Пусть треугольник АВС равносторонний. Тогда площадь треугольникаSabc=(√3/4)*а².Формула медианы ВМ к стороне АС: Mb=(1/2)*√(2a²+2c²-b²).При АН=ВМ площадь треугольника равнаSabc=(1/2)*BM*BC или Sabc=(1/2)*(1/2)*√(2a²+2c²-b²)*а.  ИлиSabc=(1/4)*а*√(2a²+2c²-b²).Мы видим, что только при a=b=c корень √(2a²+2c²-b²)=√(3a²)=а√3.Тогда Sabc=(√3/4)*а².Если треугольник не равносторонний, то по формуле Герона Sabc=(1/2)*√[((a+b+c)/2)*((b+c-a)/2)*((a+c-b)/2))*((a+b-c)/2)=
=√[((a+c)²-b²)*((b²-(a-c)²]/4.Мы видим, что только при a=b=c корень
√[((a+c)²-b²)*((b²-(a-c)²]=√(3a²)=а√3. И Sabc=(√3/4)*а².При всех других значениях сторон площадь треугольника АВС будет отличаться отS=(√3/4)*а².Ответ: при данных условиях треугольник АВС должен быть равносторонним.

Answer 2

Да, треугольник ABC может быть неравносторонним в данной ситуации.

Поскольку дано, что высота AH треугольника ABC равна медиане BM, мы можем сделать следующие выводы:

1. Высота AH и медиана BM пересекаются в точке M (точке пересечения высоты и медианы).
2. Так как медиана разделяет сторону треугольника пополам, то сторона AC будет равна стороне BC (AM = MC).

Из этих фактов следует, что стороны AC и BC равны между собой (AC = BC). Однако ничего не говорится о равенстве сторон AB и BC, поэтому треугольник ABC может быть неравносторонним.