Question

1. Один из смежных углов - острый.Каким будет второй угол? а) острым б)прямым в)тупым 2.Найдите угол ,если сумма двух смежных с ним углов равна 210* 3.Какое наименьшее число лучей может выходить из одной точки,чтобы все углы,образованные соседними лучами,были острыми? 4.Периметр равнобедренного треугольника равен 18 см.Одна из его сторон равна 6см.Найдите длины двух других сторон. 5.Угол 1 = 135,угол 2 = 45 . Определите взаимное расположение прямых m и n a) пересекаются б)параллельны в)такая ситуация невозможно. 6.Определите вид треугольника ,если сумма двух его углов меньше третьего угла. а)остроугольный б)прямоугольный в)тупоугольный г)определить невозможно. 7.Углы треугольника относятся 1:1:2. Определите вид данного треугольника. По углам По сторонам 1.остроугольный 1.разносторонний 2.прямоугольный 2.равносторонний 3.тупоугольный 3.равнобедренный 8.сколько различных треугольников можно составить из пяти отрезков,длины которых равны 1см,2см,3см,4см,5см? Часть В 1.В треугольнике АВС медиана BD является биссектрисой треугольника. Найдите периметр треугольника АВС,если периметр треугольника ABD равен 16см BD=5см. 2.Медиана ВМ треугольника АВС перпендикулярна его биссектрисе AD. Найдите АВ ,если АС=12см. 3.Дан прямоугольный треугольник АСВ. Найдите угол АОВ,где О - точка пересечения биссектрис острых углов треугольников. 4.Внутри равностороннего треугольника АВС отмечена точка D ,такая, что угол BAD равен углу BCD =15. Найдите угол ADC. 5. Биссектриса AD и BE на медиане треугольника АВС пересекаются в точке О. Найдите угол С треугольника,если угол АОЕ = 50. 6.В треугольнике АВС на медиане BD отмечена точке О,такая, что угол САО равен углу ОСА. Расстояния от точки О до стороны АВ равно 8 см,а до стороны АС равно 5см.Найдите расстояние от точки О до стороны ВС.

Answer 1

1. Острый угол меньше 90°. Сумма смежных углов равна 180°, значит смежный с острым угол будет больше 90°, т.е. тупой.

Ответ: в)

2. ∠1 - искомый, ∠2 и ∠3 - смежные с ним. Так как сумма смежных углов равна 180°, то

∠1 + ∠2 = 180° и ∠1 + ∠3 = 180°, значит ∠2 = ∠3 = 210°/2 = 105°.

∠1 = 180° - ∠2 = 180° - 105° = 75°

3. Полный угол составляет 360°, острый угол меньше 90°. Пусть n - количество углов с вершиной в одной точке.

360° / n < 90°

4 / n < 1

n > 4, т. е. 5 лучей можно провести.

4. Пусть 6 см - основание треугольника, тогда сумма боковых сторон:

18 - 6 = 12 см, а так как боковые стороны равны, то каждая равна 6 см.

Если 6 см - боковая сторона, то приходим к тому же результату:

18 - 6 · 2 = 18 - 12 = 6 см.

Ответ: треугольник равносторонний со стороной 6 см.

5. ∠1 и ∠2 - внутренние односторонние при пересечении прямых m и n секущей а, так как их сумма равна 180° (135° + 45° = 180°), то прямы параллельны.

Ответ: б)

6. ∠1 + ∠2 < ∠3

Сумма углов треугольника равна 180°:

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°, значит ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3.

Подставим в первое неравенство:

180° - ∠3 < ∠3

2∠3 > 180°

∠3 > 90°

Значит треугольник тупоугольный.

Ответ: в)

7. Пусть х - меньший угол, тогда 2х - больший. Сумма углов треугольника 180°:

x + x + 2x = 180°

4x = 180°

x = 45°

Углы треугольника 45°, 45° и 90°.

Ответ: 2) прямоугольный, 3) равнобедренный.

8. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Этому условию удовлетворяют только тройки чисел: 2, 3, 4 и 3, 4, 5.

Ответ: 2 треугольника.

Часть В.

1. Если в треугольнике медиана является биссектрисой, то треугольник равнобедренный.

АВ + AD = Pabd - BD = 18 - 5 = 13 см

BC = AB, CD = AD,⇒

Pabc = 2(AB + AD) = 2 · 13 = 26 см

2. АМ = МС = АС/2 = 12/2 = 6 см, так как ВМ медиана.

В ΔАВМ АО - биссектриса и высота, значит ΔАВМ равнобедренный,

АВ = АМ = 6 см.

3. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°:

∠А + ∠В = 90°, тогда сумма их половин в два раза меньше:

∠1 + ∠2 = 45°.

В ΔАОВ: ∠АОВ = 180° - (∠1 + ∠2) = 180°- 45° = 135°

4. Все углы равностороннего треугольника равны 60°, тогда

∠DAC = ∠DCA= 60° - 15° = 45°.

ΔADC: ∠ADC = 180° - (∠DAC + ∠DCA) = 180° - 90° = 90°

5. Неточность в условии:

Биссектрисы AD и BE треугольника АВС пересекаются в точке О. Найдите угол С треугольника, если ∠АОЕ = 50°.

∠АОЕ - внешний угол треугольника АОВ, значит равен сумме двух внутренних, не смежных с ним:

∠АОЕ = ∠1 + ∠2 = 50°

Так как AD и ВЕ биссектрисы, то сумма углов А и В треугольника АВС будет в два раза больше:

∠А + ∠В = 2∠АОЕ = 2 · 50° = 100°.

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то

∠С = 180° - (∠А + ∠В) = 180° - 100° = 80°

6. ∠ОАС = ∠ОСА, ⇒⇒ΔОАС - равнобедренный, тогда медиана BD является и высотой, значит и ΔАВС тоже равнобедренный.

Расстояние от точки до прямой - длина перпендикуляра, проведенного из точки к этой прямой.

OD⊥AC,⇒ ОС = 5 см.

Проведем ОЕ⊥АВ и OF⊥ВС. ОЕ = 8 см по условию.

Но BD и биссектриса равнобедренного треугольника АВС, а все точки биссектрисы равноудалены от сторон угла, значит

OF = OE = 8 см

Answer 2

1. Если один из смежных углов острый, то второй угол будет тупым.
2. Пусть угол АСВ равен x. Тогда сумма двух смежных с ним углов будет равна 180 - x + y + 180 - x = 360 - 2x + y. По условию эта сумма равна 210, поэтому имеем уравнение: 360 - 2x + y = 210, или y = 150 + 2x. Таким образом, второй угол равен 150 + 2x.
3. Чтобы все углы, образованные соседними лучами, были острыми, нам нужно иметь как минимум три луча. При этом мы можем разместить их равномерно на окружности так, чтобы они образовывали углы по 120 градусов друг с другом. Таким образом, наименьшее число лучей, которые нужны, чтобы образовать только острые углы, равно трем.
4. Пусть сторона равнобедренного треугольника, равная 6 см, является основанием. Обозначим другие две стороны через х. Так как треугольник равнобедренный, то оставшиеся два угла будут равны между собой. Каждый из этих углов равен (180 - угол при основании) / 2 = (180 - 60) / 2 = 60 градусов. Таким образом, мы имеем угол-вершину треугольника, равный 60 градусов, и две стороны, равные х. Мы можем найти их длины, используя теорему косинусов:

6^2 = x^2 + x^2 - 2xx*cos(60) 36 = 2x^2 - x^2 x = √12 = 2√3

Таким образом, длины двух других сторон равнобедренного треугольника равны 2√3 см. 5. Углы 1 и 2 в сумме дают 180 градусов, что означает, что эти углы являются смежными углами, образованными двумя пересекающимися прямыми. Так как угол 1 больше 90 градусов, то прямые m и n не могут быть параллельными. Таким образом, правильный ответ - а) пересекаются.

6. Сумма углов в любом треуг